Ist das Polynom X9 - 4 irreduzibel in ℚ[X]?

Question

Aufgabe:

Ist das polynom X⁹ - 4 irreduzibel in ℚ[X]?

Mir fällt kein Kriterium ein, dass ich anwenden kann. Auf den ersten Blick würde ich ja sagen. Kann jemand helfen?

Comments

Tipp: Betrachte das Polynom (X + 1)⁹ - 4 in ℚ[X].

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Text erkannt:

1.6. Theorem. Let \( F \) be an arbitrary field, let \( n \geq 1 \) and let \( a \in F \). Then \( X^{n}-a \quad \) is irreducible over \( F \)
if and only if \( a \notin F^{p} \) for all primes \( p \) dividing \( n \) and \( a \notin-4 F^{4} \) whenever \( 4 \mid n . \)

Aus Karpilovsky, Topics in Field Theory

Answer 1

Setze X:=Y+1. Wende das Eisenstein-Kriterium mit p=3 auf \((Y+1)^9-4\) an:

\((Y+1)^9-4=Y^9+3Y(\cdots)-3\).

Eine Zerlegung \(X^9-4=f(X)g(X)\) würde eine Zerlegung \(f(Y+1)g(Y+1)\) ergeben.