Die Menge aller Teiler einer Zahl bestimmen

Question

Hilfe für diese schwierige Aufgabe:

Schreibe die Menge aller Teiler von 1260

Ich habe Primfaktorzerlegung gemacht so:

2,2,3,3,5,7

Dann habe ich


1260

=2 * 630

= 2 * 2 * 315

= 2 * 2 * 3 * 105

= 2 * 2 * 3 * 3 * 35

= 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7 → 1260

Wie geht es weiter?

Answer 1

Du zerlegt eine Zahl in Primfaktoren und deren Vielfachheit, also

\( z = a^m*b^n*c^o*\cdots \)

Nun musst Du jede Zahl mit jeder Zahl in jeder Potenz multiplizieren, was Du sukzessive machst:

Du startest mit der Menge

\( \{ 1 \} \)

Du erzeugt erst einmal eine neue Menge durch Multplikation mit \( a^1 \) bis \( a^m \):

\( \{ a^1, a^2, a^3, \dots, a^m \} \)

Zusammen ergibt sich

\( \{ 1, a^1, a^2, a^3, \dots, a^m \} \)

Nun wird diese Menge mit allen \( b^1 \) bis \( b^n \) multipliziert:

\( \{ 1b^1, a^1b^1, a^2b^1, a^3b^1, \dots, a^mb^1 \} \)

\( \{ 1b^2, a^1b^2, a^2b^2, a^3b^2, \dots, a^mb^2 \} \)

\( \vdots \)

\( \{ 1b^n, a^1b^n, a^2b^n, a^3b^n, \dots, a^mb^n \} \)

Dies alles in eine Menge zusammenfassen, und weiter mit \( c^1 \) bis \( c^o \)

Usw. usw.

===================

Speziell:

\( 1260 = 2^2*3^2*5*7 \)

Start

\( \{ 1 \} \)

Multiplikation mit \( 2^1 \) und \( 2^2 \)

\( \{ 2, 4 \} \)

Zusammen

\( \{ 1, 2, 4 \} \)

Multiplikation mit \( 3^1 \) und \( 3^2 \)

\( \{ 3, 6, 12 \} \)

\( \{ 9, 18, 36 \} \)

Zusammen

\( \{ 1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36 \} \)

Multiplikation mit \( 5 \)

\( \{ 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180 \} \)

Zusammen

\( \{ 1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180 \} \)

Multiplikation mit \( 7 \)

\( \{ 7, 14, 28, 21, 42, 84, 63, 126, 252, 35, 70, 140, 105, 210, 420, 315, 630, 1260 \} \)

Zusammen

\( \{ 1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 7, 14, 28, 21, 42, 84, 63, 126, 252, 35, 70, 140, 105, 210, 420, 315, 630, 1260 \} \)

Jetzt noch sortieren, fertig

(Wenn Du das mit dem Computer machst, wird ausdrücklich zwischendurch *nicht* sortiert, dann kannst Du das in einer primitiven Liste durchführen.)

Answer 2

1260 = 2·2·3·3·5·7 = 2^2·3^2·5·7

Jetzt sollst du die Menge aller Teiler Aufschreiben. Z.B.

2^0·3^0·5^0·7^0 = 1
2^0·3^0·5^0·7^1 = 7
2^0·3^0·5^1·7^0 = 5
2^0·3^0·5^1·7^1 = 35
2^0·3^1·5^0·7^0 = 3
2^0·3^1·5^0·7^1 = 21
...

etc.

Dann noch alle Zahlen sortieren, wenn man es schön haben will. Das sind also alle Faktorkombinationen aus obigen Faktoren.

Evtl. etwas einfacher du gehst die Zahlen von 1 bis √1260 = 35.5 durch und schaust ob sie Teiler sind und schreibst das als Malaufgabe auf wie Roland das gemacht hat. Dann hast du am Ende alle Teiler stehen. Du darfst halt nur keine Zahlen vergessen.

T1260 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 28, 30, 35, 36, 42, 45, 60, 63, 70, 84, 90, 105, 126, 140, 180, 210, 252, 315, 420, 630, 1260}

Comments

Zotat "Jetzt sollst du die Menge aller Teiler Aufschreiben. Z.B.

20·30·50·70 = 1
20·30·50·71 = 7
20·30·51·70 = 5
20·30·51·71 = 35
20·31·50·70 = 3
20·31·50·71 = 21
...

etc.

Dann noch alle Zahlen sortieren, wenn man es schön haben will. Das sind also alle Faktorkombinationen??? aus obigen Faktoren."

woher soll ich wissen diese Kombinationen,? das ist komplex

Answer 3

1260=2·630

1260=3·420

1260=4·315

1260=5·252

1260=6·210

1260=9·140

1260=10·126

1260=12·105

1260=15·84

1260=18·70

1260=20·63

1260=30·42

Comments

Welche Frage ist damit beantwortet?

---

Der Ansatz ist doch prima, wenn dort nicht Faktoren fehlen würden.

1260 = 1 * 1260

1260 = 7 * 180

...

Aber am Ende hätte man alle Teiler von 1260 dort stehen.

---

Jetzt Frage zu Rpland

wie bist du dazu gekommen?

1260=2·630

1260=3·420

1260=4·315

1260=5·252

1260=6·210

1260=9·140

1260=10·126

1260=12·105

1260=15·84

1260=18·70

1260=20·63

1260=30·42

Answer 4

Jetzt Frage zu Rpland

wie bist du dazu gekommen?

1260=2·630

1260=3·420

1260=4·315

1260=5·252

1260=6·210

1260=9·140

1260=10·126

1260=12·105

1260=15·84

1260=18·70

1260=20·63

1260=30·42

Roland hat der Reihe nach untersucht, ob 1260 durch 2, 3, 4, 5, 6 und so weiter teilbar ist. Mit jedem so gefundenen Teiler findet man übrigens noch einen zweiten Teiler.

Die erste Möglichkeit hat Roland übersehen:

1260 ist durch 1 teilbar, denn 1260=1·1260. Damit ist 1 ein Teiler (und 1260 auch).

Jetzt wird getestet: Ist 1260 durch 2 teilbar?
Antwort: Ja, denn 1260=2·630. Damit ist 2 ein Teiler (und 630 auch).

Ist 1260 durch 3 teilbar?
Antwort: Ja, denn 1260=3·420. Damit ist 3 ein Teiler (und 420 auch).

Ist 1260 durch 4 teilbar?
Antwort: Ja, denn 1260=4·315. Damit ist 4 ein Teiler (und 315 auch).

Die selbe Frage stellst du dann für 5, 6, 7 und so weiter.

(Roland hat auch den Teiler 7 übersehen, denn der Primfaktir 7 ist enthalten, es gilt dann
1260=7·180. Auch 14, 21, 28 und 35 sind Teiler, und der daraus entstehende zweite Faktor ebenfalls.

Manchmal lautet die Antwort "nein", denn die Zahl ist z.B. nicht durch 8 teilbar. (Der Primfaktor 2 ist nur zweimal vorhanden, für 8 müsste er aber dreimal da sein.)

Nach Rolands letzter Möglichkeit (ist 1260 durch 30 teilbar) mit
1260=30·42
geht es mit 31, 32, 33, 34 jeweils nicht, weil die dafür die erforderlichen Primfaktoren fehlen.

"Ist 1260 durch 35 teilbar?" funktioniert wieder, denn die Primfaktoren 5 und 7 sind vorhanden.
Daraus ergibt sich
1260=35·36 , also ist 35 ein Teiler (und damit 36 auch.

Die nächsten Fragen wären jetzt eigentlich "Ist 1260 durch 36, durch 36, durch 38 usw. teilbar?"

Aber hier können wir aufhören. Wenn der erste Faktor größer als 35 wird, wird der zweite Faktor kleiner als 35. Mit jedem größeren Faktor ergibt sich ein zugehöriger kleinerer Faktor, und die kleineren Faktoren hab en wir aber alle schon gefunden.

Comments

warum geht nicht druch 34?
34 hat auch primfaktoren--> 2, 17. Die Aufgabe ist kompliziert und finde keine Regel

---

warum geht nicht druch 34?
34 hat auch primfaktoren--> 2, 17.

Die Zahl 1260 enthält aber den Primfaktor 17 nicht.

Also kann 1260 nicht durch 17 teilbar sein.

Wenn 1260 nicht einmal durch 17 teilbar ist, ist 1260 auch nicht durch (2*17) teilbar,

Answer 5

Vom Duplikat:

Titel: Wie weiss ich die se Anzahl von Kombination vor de Menge alle Teiler 1260?

Stichworte: algebra

Aufgabe:

Wie weiss ich die se Anzahl von Kombination vor de Menge alle Teiler 1260?

Für die Teiler von 1260 erhâlt man so (ausfürlich aufgeschrieben):

\( 2^{e}+3^{e}+5^{0} \cdot 7^{e}=1 \)
\( 2^{1}+3^{e}-5^{b}-7^{b}=2 \)
\( 2^{x} \cdot 3^{e}-5^{v}-7^{e}=4 \)
\( 2^{6}+3^{1} \cdot 5^{a}-7^{6}=3 \)
\( 2^{1}+3^{\prime}+5^{0}+7^{0}=6 \)
\( 2^{2}+3^{\prime} \cdot 5^{0}+7^{0}=12 \)
\( 2^{6}+3^{2} \cdot 5^{6} \cdot 7^{6}=9 \)
\( 2^{1} \cdot 3^{2}+5^{p}+7^{p}=18 \)
\( 2^{2}+3^{2} \cdot 5^{6}+7^{e}=36 \)
\( 2^{e} \cdot 3^{6} \cdot 5^{1}-7^{e}=5 \)
\( 2^{1}+3^{t}-5^{1}+7^{t}=10 \)
\( 2^{2} \cdot 3^{0}-5^{1} \cdot 7^{0}=20 \)
\( 2^{e} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 7^{t}=15 \)
\( 2^{1}+3^{1} \cdot 5^{1}+7^{0}=30 \)
\( 2^{2}+3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 7^{e}=60 \)
\( 2^{e} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1} \cdot 7^{e}=45 \)
\( 2^{1}+3^{2}+5^{1}+7^{5}=90 \)
\( 2^{3}+3^{2} \cdot 5^{1}+7^{2}=180 \)
\( 2^{0} \cdot 3^{\circ} \cdot 5^{e} \cdot 7^{1}=7 \)
\( 2^{1}+3^{t}-5^{0}-7^{1}=14 \)
\( 2^{2}+3^{e}-5^{e} \cdot 7^{1}=28 \)
\( 2^{e}+3^{1}-5^{e}-7^{1}=21 \)
\( 2^{1} \cdot 3^{1} \cdot 5^{e} \cdot 7^{1}=42 \)
\( 2^{1}+3^{1}+5^{0}+7^{1}-42 \)
\( 2^{2}+3^{1} \cdot 5^{v} \cdot 7^{1}=84 \)
\( 2^{e} \cdot 3^{2}-5^{6}-7^{1}=63 \)
\( 2^{1} \cdot 3^{2}+5^{6} \cdot 7^{1}=126 \)
\( 2^{3}+3^{2}-5^{6}+71=252 \)
\( 2^{0}+3^{0}+5^{1}+71=35 \)
\( 2^{1} \cdot 3^{0}-5^{1} \cdot 7^{1}=70 \)
\( 2^{n} \cdot 3^{0} \cdot 5^{1} \cdot 7 v=140 \)
\( 2^{2}+3^{0} \cdot 5^{1} \cdot 7^{1}=140 \)
\( 2^{0}+3^{1} \cdot 5^{1}+7^{1}=105 \)
\( 2^{1} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 7^{1}=210 \)
\( 2^{2}+3^{1}+5^{1}+7^{1}=420 \)
\( 2^{0}+3^{2} \cdot 5^{1} \cdot 7^{1}=315 \)
\( 2^{1}+3^{2} \cdot 5^{1}+7^{1}=630 \)
\( 2^{1} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1} \cdot 7^{1}=1260 \)

Hier

Comments

Hier Biepiel wenn ich so machen --->( wie unten, eine Person hat mir das gegeben) irgendwann kann nicht konzentrieren und wieter machen und was noch zum machen wiel zu viel Kombinationen gibt, deswegen such Triik wie ich BIS Ende ALLE Kombinationen hier schreiben.

Text erkannt:

Für die Teiler von 1260 erhâlt man so (ausfürlich aufgeschrieben):
\( \begin{array}{l} 2^{e}+3^{e}+5^{0} \cdot 7^{e}=1 \\ 2^{1}+3^{e}-5^{b}-7^{b}=2 \\ 2^{x} \cdot 3^{e}-5^{v}-7^{e}=4 \\ 2^{6}+3^{1} \cdot 5^{a}-7^{6}=3 \\ 2^{1}+3^{\prime}+5^{0}+7^{0}=6 \\ 2^{2}+3^{\prime} \cdot 5^{0}+7^{0}=12 \\ 2^{6}+3^{2} \cdot 5^{6} \cdot 7^{6}=9 \\ 2^{1} \cdot 3^{2}+5^{p}+7^{p}=18 \\ 2^{2}+3^{2} \cdot 5^{6}+7^{e}=36 \\ 2^{e} \cdot 3^{6} \cdot 5^{1}-7^{e}=5 \\ 2^{1}+3^{t}-5^{1}+7^{t}=10 \\ 2^{2} \cdot 3^{0}-5^{1} \cdot 7^{0}=20 \\ 2^{e} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 7^{t}=15 \\ 2^{1}+3^{1} \cdot 5^{1}+7^{0}=30 \\ 2^{2}+3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 7^{e}=60 \\ 2^{e} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1} \cdot 7^{e}=45 \end{array} \)