Warum haben Zahlen, deren Produkt aller Teiler das Quadrat der Zahl ist 4 Teiler?

Question

ich habe vor Kurzem entdeckt das alle Zahlen (Ausnahme ist die 1), deren Produkt aller Teiler das Quadrat der Zahl ergibt. 

Mit eclipse habe ich alle Zahlen bis 8000 analysiert (siehe Anhang) und die Annahme ist im außer bei der 1 zugetroffen. 

Würde das immer so bleiben und wie wird das bewiesen?Teilerproduktquadratzfahlen.txt (94 kb)

Answer 1

Teiler kommen meistens in Paaren vor: Wenn t Teiler von n ist, dann ist n/t auch Teiler von n. Ausnahme sind Quadratzahlen, da kann t = n/t sein.

Hat eine Zahl n genau 4 Teiler, dann ist das Produkt der beiden nicht trivialen Teiler n, weil sie ein oben beschriebenes Paar bilden, und

        t · n/t = n

ist. Multipliziert man dieses Podukt mit den beiden trivialen Teilern 1 und n, dann bekommt man n².

Umgekehrt, wenn das Produkt der Teiler n² ist, dann muss es wegen obiger Paare genau zwei Paare geben. Zwei Paare bedeutet vier Teiler.

Comments

Was ist mit:

Ausnahme sind Quadratzahlen

?

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Quadratzahlen können nicht genau vier Teiler haben und das Produkt der Teiler kann nicht das Quadrat der Zahl sein.

Answer 2

Wenn die Zahl n größer als 1 ist, hat sie die beiden verschiedenen

Teiler 1 und n.  Damit das Produkt aller Teiler n2 ist, müssen

die restlichen Teiler also auch das Produkt n haben.  #

Nun hat ja jede Zahl > 1 eine Primfaktorzerlegung.

Wäre n selbst eine Primzahl , so hätte sie außer sich selbst und

1 keine weiteren Teiler im Widerspruch zu #.

Hätte n mehr als zwei verschiedene Primfaktoren, also mindestens 3, 

etwa p1 *p2 * p3 = n 

Dann hätte n aber außer 

p1  ,p2 , p3 noch die Teiler  p2*p3,

p1*p3 und p1*p2 und deren Produkt ist dann ja n² im

Widerspruch zu #

Also hat n nur genau zwei verschiedene Primfaktoren oder 

enthält einen Primfaktor mehrmals.

Im ersten Fall ist es klar, dass es genau 4 Teiler gibt, nämlich

1 , p1 und p2 und n=p1*p2.

Im anderen Fall enthält n genau 3 mal den gleichen Primfaktor.

Denn 1 Primfaktor ist nicht möglich ( siehe oben)

2 Primfaktoren wäre sowas wie n= p² 

Das hätte nur die Teiler 1 , p und p²=n, also keine 4 Stück.

Bei dreien klappt es:  n = p³ hat die Teiler 

1 , p , p² , p³=n  Produkt p⁶ = n².

Mehr als 3, also mindestens 4 wäre der Fall n=p⁴ .

Also die Teiler  1,p²,p³,p⁴ = n aber das Produkt wäre p⁹ und nicht p⁸.

Hier sieht man schon, wie es wohl allgemein geht:   n=p^k  .

Das Produkt der Teiler ist p hoch "Summe aller nat. Zahlen von 1 bis k".

Diese Summe ist immer k*(k+1)/2 und damit das gleich 2k ist muss gelten

k*(k+1)/2 = 2k

k*(k+1) = 4k

k² -3k = 0

und das hat nur die Lösungen k=0

( hier nicht sinnvoll wegen n>1 ) und  k=3 .

Kurzum:   Die Zahl hat entweder zwei verschiedene

Primfaktoren (wie z.B. unsere nächste Jahreszahl 2018)

  oder ist die dritte Potenz einer Primzahl.

Jedenfalls hat sie genau 4 Teiler.

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