Begriff Irreduzibel in Integritätsbereichen

Question

Aufgabe: Verständnisfrage zum Begriff Irreduzibel in Integritätsbereichen

Problem/Ansatz: Ich habe zu dem Thema ein kleines Verständnisproblem. Ich habe die allgemeine Definition (glaube ich) verstanden, weiß aber nicht so genau was ich damit anfangen soll.

Beispielsweise die Aufgabenstellung : Zeigen sie, dass 2 in ℤ[\( \sqrt{-5} \) ] irreduzibel ist.

An sich müsste ich jetzt zeigen, dass aus 2= a*b folgt, dass 2 zu a oder zu n assoziiert ist, aber dafür bräuchte ich ja eine Darstellung 2=a*b. Angenommen ich würde eine Kontraposition ausprobieren, wüsste ich auch nicht genau wie ich hier vorgehen sollte. Habe ich eventuell die falsche Definition?

Ich würde mich sehr freuen wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte (bei Erklärungen gerne auch das oben genannte Beispiel benutzten).

LG

Comments

Muss es nicht \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) heißen?

Denn in dem von dir angegebenen Ring ist jedes Element \(\neq 0\)

eine Einheit.

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Ja, sorry da hab ich mich vertippt! Danke :)

Answer 1

Dann mache den Ansatz \(a=a_1+a_2\sqrt{-5},\; b=b_1+b_2\sqrt{-5}\),

also \(2=a_1b_1-5a_2b_2+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{-5}\) und ziehe

daraus Schlüsse ...

Comments

Perfekt, danke! Ich habe mir auch noch ein paar Gedanken gemacht und ich glaube es würde sogar noch einfacher gehen, wenn man auf beiden Seiten jeweils die Norm betrachtet.

Aber danke für die schnelle Antwort!

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Im allgemeinen ist es günstiger in solchen Fragen mit der Norm zu arbeiten.

War mir nur nicht sicher, ob ihr die Norm bereits behandelt habt.