Was kommt da als Ergebnis raus?

Question

Text erkannt:

Man bestimme eine natirliche tahlenn \( n_{0} \) sodass \( a_{n}>1000 \) für alle \( n>n_{0} \) :
\( a_{n}=\frac{2 n^{2}}{n-1} \)

Aufgabe:

Comments

Da du nicht das kleinste n0 willst sondern nur irgendeines kannst du auch schneller arbeiten:

\( \frac{2n^2}{n-1} > \frac{2n^2}{n}=2n \ge 1000 \iff n\ge500 \)

Also funktioniert zB \( n_0 := 500 \)

Answer 1

\(a_n=\frac{2n^2}{n-1}\gt\frac{2n^2}{n}=2n\geq 1000\), also kann man \(n_0=500\) wählen.

Comments

Und wenn es a_n=2 Wurzel n ist?

Answer 2

Aloha :)

$$\left.a_n>1000\quad\right|\text{\(a_n\) einsetzen}$$$$\left.\frac{2n^2}{n-1}>1000\quad\right|\cdot(n-1)$$$$\left.2n^2>1000(n-1)\quad\right|-1000(n-1)$$$$\left.2n^2-1000(n-1)>0\quad\right|\colon2$$$$\left.n^2-500(n-1)>0\quad\right|\text{ausrechnen}$$$$\left.n^2-500n+500>0\quad\right|+62\,000$$Die quadratische Ergänzung ist \(\left(\frac{500}{2}\right)^2=62\,500\). Daher addieren wir auf beiden Seiten \(62\,000\), um die 2-te binomische Formel links anwenden zu können:$$\left.n^2-500n+62\,500>62\,000\quad\right|\text{2-te binomische Formel links}$$$$\left.(n-250)^2>62\,000\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.n-250>248,98\quad\right|+250$$$$n>498,98$$Für \(n\ge n_0\coloneqq499\) ist die Behauptung \(a_n>1000\) also erfüllt.