Bestimmen Sie obere Integrationsgrenze

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x² - 3.

b) Bestimmen Sie alle Werte von k e R, für die Integral(von 0 bis k)f(x)(dx) = 0 gilt.

d) Geben Sie jeweils an, für welche k >= 0 die Beziehungen Integral(0 bis k) f(x)dx < 0 bzw. Integral(0 bis k) f(x)dx > 0 gelten.

Vielen Dank.

Answer 1

Aloha :)

Wir bestimmen das Integral als Funktion $F$ in Abhängigkeit von $k$:$$F(k)\coloneqq\int\limits_0^kf(x)\,dx=\int\limits_0^k\left(x^2-3\right)dx=\left[\frac{x^3}{3}-3x\right]_0^k=\frac{k^3}{3}-3k=\frac k3\left(k^2-9\right)$$$$F(k)=\frac k3(k-3)(k+3)$$

zu b) Die Nullstellen von $F(k)$ können wir sofort ablesen:$\quad k_1=-3\;;\;k_2=0\;;\;k_3=3$

zu c) Hier ist $k\ge0$ vorgegeben und es gilt:$$0<k<3\quad\implies\quad F(k)=\underbrace{\frac k3}_{>0}\cdot\underbrace{(k-3)}_{<0}\cdot\underbrace{(k+3)}_{>0}<0$$$$k>3\qquad\!\quad\implies\quad F(k)=\underbrace{\frac k3}_{>0}\cdot\underbrace{(k-3)}_{>0}\cdot\underbrace{(k+3)}_{>0}>0$$

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Vielen Dank!