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Die Geschalftsleitung eines großen Chemieunternehmens gab gestern einen Unfall in Threm Werk bekannt. Nach Angaben des Unternehmens versagte um \( 0^{\infty} \) Uhr nachts das Absperrventil eines \( 8 \mathrm{~m}^{3} \) großen Behalters mit giftiger Flüssigkeit. Das Leck konnte erst um \( 1^{\text {wo }} \) Uhr morgens geschlossen werden. Wie die Firmenleitung weiter mitteilte, floss die gesamte ausgelaufene Flüssigkeit in ein leeres Überlaufbecken mit einer Kapazität von \( 6,5 \mathrm{~m}^{3} \), so dass keine Schädigung der Umwelt befürchtet werden muss.
Umweltschützer bezweifelten die Aussagen der Unternehmensleitung und forderten genauere Informationen über den Unfall. Die Geschäftsleitung gab daraufhin bekannt, dass aufgrund einer automatischen Messung am Abflussventil des Behallters der momentane Abfluss aus dem Behalter zwischen \( 0^{00} \) Uhr und \( 1^{10} \) Uhr durch den Term \( f(t)=-3 t^{2}+12 t-12 \) beschrieben werden kann. Beachte: Der Term f(t) beschreibt nicht die Füllmenge des Behälters und auch nicht die insgesamt abgeflossene Menge, sondern die momentane Änderungsrate der Füllmenge.
Die Unternehmensleitung folgerte aus diesen Daten, dass Ihre Angaben stimmen, die Umweltschützer dagegen, dass das Überlaufbecken für die ausgelaufene Flüssigkeit nicht ausgereicht hat.
a) Fulle die nachstehende Wertetabelle aus, \begin{tabular}{|l|} \hline (Zeit in h) \\ \hline f (Momentaner Durchfluss in \( \left.\mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right) \) \\ \hline \end{tabular}
Fertige ein beschriftetes und skaliertes Koordinatensystem an und zeichne den Graphen von \( f \) in
c) Interpretiere die Funktionswerte \( f(0) \) und \( f(1) \) im Sinne der Sachaufgabe.
d) Wie kann man herausfinden, ob das Überlaufbecken für die ausgelaufene Flüssigkeitsmenge ausreicht? Beantworte die Frage ausführlich.
e) Veranschauliche die insgesamt aus dem defekten Behälter abgeflossene Flüssigkeitsmenge im Graphen.
Beharrliches Nachfragen der Umweltschützer führt dazu, dass die Unternehmensleitung Informationen über den zeitlichen Verlauf der Füllmenge des Behälters bekannt gibt. Diese wird demnach beschrieben durch den Term \( F(t)=-t^{3}+6 t^{2}-12 t+8 \).
f) Fulle die nachstehende Wertetabelle aus.
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline \( \mathbf{t}( \) Zeit in h) & 0 & 0,25 & 0,5 & 0,75 & 1 \\
\hline \( \mathbf{F}\left(\right. \) Füllmenge in \( \left.\mathbf{m}^{3}\right) \) & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
g) Fertige ein zweites beschriftetes und skaliertes Koordinatensystem an und zeichne den Graphen von F in dieses Koordinatensystem ein.
h) Interpretiere die Funktionswerte \( F(0) \) und \( F(1) \) im Sinne der Sachaufgabe.
i) Wie kann man mit den neuen Erkenntnissen herausfinden, ob das Überlaufbecken für die ausgelaufene Flüssigkeitsmenge ausreicht? Beantworte die Frage ausführlich.
Ich habe fragen zu der gesamten Aufgabe. Wir haben grade mit Integralrechnung begonnen und das ist die erste Aufgabe. Da ich online Abi mache, muss ich mir alles selber erarbeiten und brauche daher eure Hilfe:)
Ich habe schon verstanden das ich bei der ersten Funktion nicht die durchschnittliche Änderungsrate berechnen kann, da es sich bei dem Term bereits um die momentane Änderungsrate der Füllmenge handelt.
Ich habe die Tabelle bereist ausgefüllt und für 0 = -12 und für 1 = -3 raus. Das bedeutet dann aber doch lediglich, dass zu der Zeit der momentane Durchfluss diese Menge pro h hat.
Um zu berechnen wie viel ausgelaufen ist, habe ich die Stammfunktion gebildet und
-t^3+6t^2-12t raus. Ich habe dann das Integral für 0 und 1 berechnet und -7 rausbekommen.
Also bin ich zu dem Entschluss gekommen, dass in der Zeit 7 Liter ausgelaufen sind. Ist das so richtig, oder bin ich schon auf dem Holzweg?
Kann ich Aufgabe d) dann auch damit argumentieren?
bei f) habe ich bei 0=8 und bei 1=1 raus.
Da die Funktion -t^3+6t^2-12t+8 den zeitlichen Verlauf der Füllmenge beschreibt, brauch ich hier doch nur zu schauen welchen Wert die Funktion bei 1 annimmt und dann sage ich das nach 1 Stunde nur noch ein Liter im Becken ist und dass das 6,5 Liter becken nicht ausreicht, da 7 Liter abgelaufen sind, oder?
Danke für eure Hilfe!
