Injektivität und surjektivität von funktionen untersuchen

Question

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Aufgabe 5
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität:
(i) \( f_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ;(x, y) \mapsto x+y \).
(ii) \( f_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ;(x, y) \mapsto(x-2 y, 2 x+y) \).
(iii) \( f_{3}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} ;(x, y) \mapsto\left(x^{2}, x+y, y\right) \).
(iv) \( f_{4}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ;(x, y) \mapsto x^{2}+y^{2}-2 \).

Aufgabe:

Hey also geht um Injektivität und Surjektivität, Aufgabe ist am Bild beschrieben.

…

Problem/Ansatz:

Hab paar Yt erklär videos gesehen und habs leider ned ganz verstanden, bin auch etwas verwirrt was R hoch 2 heißt und warum nicht - oder + und was bei den R die Pfeile bedeuten. Vielleicht könnts mir wer anhand eines der Beispiele vom Bild erklären.

Comments

Deine Fragen sind etwas verwirrend: Du fragst nach grundlegenden Bezeichnungen, habt Ihr die nicht im Lehrbetrieb besprochen. Machst Du irgendwie ein Hobby-Studium?

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habe im Sommersemester angefangen ,deswegen gibts leider zu diesem Modul die Vorlesung erst im Wintersemester... und nein ist kein Hobbystudium aber sowas haben wir in der Hak nichteinmal gelernt.

Answer 1

\( f_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ;(x, y) \mapsto x+y \)

Das "hoch 2" bei dem R bedeutet: Paare von reellen Zahlen werden betrachtet.

R^2 ist die Menge aller dieser Paare.

Jedem Paar wird eine reelle Zahl zugeordnet (Das sagt der Pfeil.)

und wie diese Zuordnung funktioniert, das steht dahinter:

Z.B. dem Paar (3;5) wird die 8 zugeordnet (eben 3+5).

Und diese Abbildung (Zuordnung) ist surjektiv, denn jede reelle Zahl lässt

sich auf diese Weise erreichen.

Injektiv ist das nicht; denn ein und dieselbe Zahl wird durch verschiedene

Paare erreicht, die 8 z.B. auch durch (2;6).

Answer 2

keine Gewähr:

(iii)

nicht surjektiv, denn z.B. (-1,0,0) hat kein Urbild

scheint mir injektiv zu sein, denn wenn

(x^2, x+y,y)=(a^2, a+b,b) aus x^2 = a^2 folgt, dass x=a sein sollte und aus y=b (3.Komponent) folgt, dass x nicht -a sein kann und a nicht -x.

Dann sollte gelten (x,y) = (a,b) (habe jedenfalls kein Gegenbsp. gefunden) (Bitte korrigieren, wenn falsch)

(iv) nicht injektiv, betrachte

f((1,1))=f((-1,-1))=0

aber (1,1) ist nicht gleich (-1,-1)

und nicht surjektiv, denn eine Zahl, die kleiner als -2 ist, hat kein Urbild, da wegen der Quadratvariablen die Funktion größer gleich -2 ist. Z.B. hat -3 kein Urbild.