Hat jemand vielleicht einen verständlichen Lösungsweg dafür?

Question

Aufgabe: Der Querschnitt eines 25m langen Tunnels besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang des Querschnitts beträgt 18m. Wie ist der Radius des Halbkreises zu wählen, damit das Volumen des Tunnels möglichst groß wird.

Problem/Ansatz: Ich finde keinen Ansatz und habe, je mehr ich mich mit dieser Aufgabe beschäftige, auch immer weniger Ahnung wie ich es angehen soll. Hat jemand vielleicht einen verständlichen Lösungsweg dafür? Vielen Dank im voraus!

Answer 1

"Aufgabe: Der Querschnitt eines 25m langen Tunnels besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang des Querschnitts beträgt 18m. Wie ist der Radius des Halbkreises zu wählen, damit das Volumen des Tunnels möglichst groß wird."

Wenn das Volumen des Tunnels maximal werden soll, reicht es, die maximale Querschnittsfläche zu bestimmen:

Bezeichnungen siehe die Skizze.

Umfang:  \(f+g+h+r*π=18\)

Nun ist \( g=2r \text{ und } f=h\)

Nebenbedingung :

\(2h+2r+r*π=18\)

Hauptbedingung (Zielfunktion) :

\(A(r,h)=2r*h+ \frac{1}{2}*r^{2}*π \) soll maximal werden.

Ich würde nun die Nebenbedingung nach h auflösen und in die Zielfunktion einsetzen....

Comments

ist die Höhe nicht h = f+r?

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Nur weil mal jemand (oder ein geometrisches Zeichenprogramm) irgendeine Strecke mit "h" bezeichnet hat, heißt das noch lange nicht, dass damit die Höhe des Tunnels gemeint sein muss.

In der Abbildung ist die Länge der Strecke CD mit h bezeichnet!

Answer 2

damit das Volumen des Tunnels möglichst groß wird.

Volumen des Tunnels ist

(1)        \(V=25\cdot \left(ab+\left(\frac{a}{2}\right)^2\pi\right)\).

Dabei sind \(a\) und \(b\) die Längen der Seiten des Rechtecks.

Lösungsidee ist, in dieser Gleichung \(a\) oder \(b\) zu eliminieren, die resultierende Gleichung als Funktionsgleichung aufzufassen und die Extrempunkte der Funktion zu bestimmen.

Der Umfang des Querschnitts beträgt 18m.

Der Umfang des Querschnitts ist

(2)        \(u=a+2b+\pi a\),

also

(3)        \(18 = a+2b+\pi a\)

Gleichung (3) nach \(b\) umformen ergibt

(4)        \(b=\frac{1}{2}(18-a-\pi a)\).

Gleichung (4) in (1) einsetzen ergibt

(5)        \(V(a)=25\cdot \left(a\cdot \frac{1}{2}(18-a-\pi a)+\left(\frac{a}{2}\right)^2\pi\right)\).

Bestimme den Hochpunkt dieser Funktion.