damit das Volumen des Tunnels möglichst groß wird.
Volumen des Tunnels ist
(1) \(V=25\cdot \left(ab+\left(\frac{a}{2}\right)^2\pi\right)\).
Dabei sind \(a\) und \(b\) die Längen der Seiten des Rechtecks.
Lösungsidee ist, in dieser Gleichung \(a\) oder \(b\) zu eliminieren, die resultierende Gleichung als Funktionsgleichung aufzufassen und die Extrempunkte der Funktion zu bestimmen.
Der Umfang des Querschnitts beträgt 18m.
Der Umfang des Querschnitts ist
(2) \(u=a+2b+\pi a\),
also
(3) \(18 = a+2b+\pi a\)
Gleichung (3) nach \(b\) umformen ergibt
(4) \(b=\frac{1}{2}(18-a-\pi a)\).
Gleichung (4) in (1) einsetzen ergibt
(5) \(V(a)=25\cdot \left(a\cdot \frac{1}{2}(18-a-\pi a)+\left(\frac{a}{2}\right)^2\pi\right)\).
Bestimme den Hochpunkt dieser Funktion.