Berechnet werden soll der extreme Flächeninhalt des Rechtecks unter der Kurve

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $$f(x)=0,5e^{-(\frac{x}{7})^2}$$

Ermitteln des im 1.Quadranten einbeschriebene Rechteckes mit extremem Inhalt. Überprüfen Sie ob diese Fläche ein Maximum oder Minimum darstellt.

Problem:

Leider weiß ich gar nicht wie ich die Aufgabe angehen soll. Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe. Berechnet werden soll das maximale Flächeninhalt unter der Kurve?

Answer 1

Das Rechteck hat die Seitenlängen x und f(x) , also Fläche

A(x) = x*f(x) mit der Ableitung A ' (x) = (1/2 - x^2/49)*e^(-x^2/49).

Ableitung gleich 0 für x = 3,5*√2 (neg. Lösung entfällt wegen 1. Quadrant)

Und es ist A ' ' (3,5*√2) negativ, also hat A dort ein Max.

Answer 2

Das Maximum der Funktion x f(x) finde ich für x ≥ 0 bei x = \( \frac{7}{\sqrt{2}} \) und ein Minimum bei x = 0, aber dort hat das Rechteck dann keine Fläche mehr.

Answer 3

Aloha :)

Gesucht ist das Rechteck mit extremaler Fläche im ersten Quadranten unter der Funktion$$f(x)=\frac12e^{-x^2/49}$$

~plot~ 0,5*e^(-x^2/49) ; 0,3*(x<=5)*(x>=0) ; {5|0,3} ; [[0|10|0|0,6]] ~plot~

Das Rechteck berührt mit der rechten oberen Ecke \((x|f(x))\) den Graphen der Funktion. Die Fläche dieses Rechtecks ist Breite mal Höhe, also:$$F(x)=x\cdot f(x)=\frac12xe^{-x^2/49}$$

Kandidaten für Extrema sind die Nullstellen der ersten Ableitung:

$$0\stackrel!=F'(x)=\frac12e^{-x^2/49}+\frac12xe^{-x^2/49}\cdot\left(-\frac{2x}{49}\right)=\frac{e^{-x^2/49}}{2}\left(1-\frac{2x^2}{49}\right)\implies x=\frac{7}{\sqrt2}$$Die zweite Ableitung an dieser Stelle ist \(f''(7/\sqrt2)<0\), sodass es sich um den maximalen Flächeninhalt handelt.

Für das maximale Rechteck gilt also:$$\text{Breite:}\quad x=\frac{7}{\sqrt2}\approx4,9497$$$$\text{Höhe:}\;\,\quad f(7/\sqrt2)=\frac{1}{2\sqrt e}\approx0,30327$$$$\text{Fläche:}\quad F=\frac{7}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{2\sqrt e}=\frac{7}{2\sqrt{2e}}\approx1,50109$$