Aloha :)
Zur Berechnung des Schwerpunktes des Flächenstücks unter der Kurve$$y=4\sin(2x)\quad;\quad 0\le x\le\frac\pi2$$schreiben wir alle Punkte innerhalb dieses Flächenstücks als Menge:$$M=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,0\le x\le\frac\pi2\;\land\;0\le y\le4\sin(2x)\right\}$$
Die Gesamtfläche \(A\) unter der Kurve ist:$$A=\int\limits_0^{\pi/2}y(x)\,dx=4\int\limits_0^{\pi/2}\sin(2x)\,dx=4\left[-\frac12\cos(2x)\right]_0^{\pi/2}=4\left(\frac12+\frac12\right)=4$$
Damit lautet die Koordinate \(y_S\) des Schwerpunktes:$$y_S=\frac1A\iint\limits_Ay\,dx\,dy=\frac14\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\int\limits_{y=0}^{4\sin(2x)}\!\!\!y\,dy\,dx=\frac14\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{4\sin(2x)}dx$$$$\phantom{y_S}=\frac14\int\limits_{x=0}^{\pi/2}8\sin^2(2x)\,dx=2\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\sin^2(2x)\,dx=2\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\frac12\left(1-\cos(4x)\right)\,dx$$$$\phantom{y_S}=\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\left(1-\cos(4x)\right)\,dx=\left[x-\frac14\sin(4x)\right]_{x=0}^{\pi/2}=\frac\pi2$$
Die \(x\)-Koordinate des Schwerpunktes \(x_S=\frac\pi4\) ist wegen der Symmetrie geschenkt.
~plot~ 4*sin(2x)*(x>=0)*(x<=pi/2) ; x=pi/4 ; {pi/4|pi/2} ; [[-0,5|2|0|4,5]] ~plot~
