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Die Formel für die Bogenlänge einer Funktion \(f(x)\) für \(x_1\le x\le x_2\) kennst du bestimmt:$$L=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$Darin setzen wir die Ableitung \(f'(x)=2x\) der gegebenen Funktion \(f(x)=x^2\) ein:$$L=\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+(2x)^2}\,dx=\int\limits_0^1\sqrt{1+4x^2}\,dx$$
Der Tipp mit der partiellen Integration sieht zuerst sinnfrei aus, weil wir ja überhaupt kein Produkt vorliegen haben. Daher bauen wir uns einfach eins:$$L=\int\limits_{0}^{1}\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{\sqrt{1+4x^2}}_{v}\,dx=\left[\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\sqrt{1+4x^2}}_{v}\right]_0^1-\int\limits_{0}^{1}\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{2\sqrt{1+4x^2}}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{8x}^{\text{innere Abl.}}}_{v'}\,dx$$$$\phantom{L}=\sqrt5-\int\limits_0^1\frac{4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx=\sqrt5-\underbrace{\int\limits_0^1\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx}_{=L}+\int\limits_0^1\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx$$Das erste verbliebene Integral ist gleich unserem Ursprungsintegral \(L\). Das bringen wir auf die linke Seite. Im zweiten verbliebenen Integral führen wir eine Substitution durch:$$x=\frac{\tan u}{2}$$Das bedeutet für die Integrationsgrenzen:$$u=\arctan(2x)\implies u(0)=0\;;\;u(1)=\arctan(2)$$Das Differential ändert sich:$$\frac{dx}{du}=\frac12\left(\frac{\sin u}{\cos u}\right)'=\frac12\frac{\cos^2u+\sin^2u}{\cos^2u}\implies dx=\frac{du}{2\cos^2u}$$Und der Nenner des Integranden wird zu:$$\sqrt{1+4x^2}=\sqrt{1+\tan^2u}=\sqrt{\frac{cos^2u}{\cos^2u}+\frac{\sin^2u}{\cos^2u}}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2u}}=\frac{1}{\cos u}$$Damit erhalten wir als neues Integral:$$2L=\sqrt5+\!\!\!\!\!\!\int\limits_0^{\arctan(2)}\!\!\!\frac{1}{\frac{1}{\cos u}}\cdot\frac{du}{2\cos^2 u}=\sqrt5+\!\!\!\!\!\!\int\limits_0^{\arctan(2)}\!\!\!\frac{du}{2\cos u}=\sqrt5+\frac12\!\!\!\int\limits_0^{\arctan(2)}\!\!\!\frac{\cos u}{\cos^2 u}\,du$$$$2L=\sqrt5+\frac12\!\!\!\int\limits_0^{\arctan(2)}\!\!\!\frac{\cos u}{1-\sin^2 u}\,du$$
Wir substituieren erneut:$$v=\sin u\implies\frac{dv}{du}=\cos u\implies du=\frac{dv}{\cos u}$$$$v(0)=\sin(0)=0$$$$v(\arctan(2))=\sin(\arctan(2))=\sqrt{1-\cos^2(\arctan(2))}=\sqrt{1-\frac{1}{\frac{1}{\cos^2(\arctan(2)}}}$$$$\phantom{v(\arctan(2))}=\sqrt{1-\frac{1}{1+\tan^2(\arctan(2))}}=\sqrt{1-\frac{1}{1+4}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt5}$$
und haben es gleich geschafft:$$2L=\sqrt5+\frac12\int\limits_0^{2/\sqrt5}\frac{\cos u}{1-v^2}\,\frac{dv}{\cos u}=\sqrt5-\frac12\int\limits_0^{2/\sqrt5}\frac{dv}{v^2-1}=\sqrt5-\frac12\int\limits_0^{2/\sqrt5}\frac{dv}{(v-1)(v+1)}$$$$\phantom{2L}=\sqrt5-\frac14\int\limits_0^{2/\sqrt5}\left(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v+1}\right)\,dv=\sqrt5-\frac14\left[\ln|v-1|-\ln|v+1|\right]_0^{2/\sqrt5}$$$$\phantom{2L}=\sqrt5-\frac14\left(\ln\left|\frac{2}{\sqrt5}-1\right|-\ln\left|\frac{2}{\sqrt5}+1\right|\right)=\sqrt5-\frac14\left(\ln\left(\frac{\sqrt5-2}{\sqrt5}\right)-\ln\left(\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5}\right)\right)$$$$\phantom{2L}=\sqrt5-\frac14\ln\left(\frac{\frac{\sqrt5-2}{\sqrt5}}{\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5}}\right)=\sqrt5-\frac14\ln\left(\frac{\sqrt5-2}{\sqrt5+2}\right)$$
Das war's auch schon:$$L=\frac{\sqrt5}{2}+\frac18\ln\left(\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5-2}\right)\approx1,47894\ldots$$
