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Aufgabe: Stochastische Unabhängigkeit:

Urne mit 3 Blauen und 3 Roten Kugeln. (Mit zurücklegen) Ereignis A= Rote Kugel Ereignis B= rote Kugel

Es soll P(B/A) berechnet werden, also Ereignis B wenn A vorliegt

Das Buch wendet die Formel an und sagt: P(B/A) = P(B)= 1/2

und damit sei es stochastisch unabhängig.

Wie kommt man darauf, ich denke immer dass P(B/A)= 0,25 sein müsste




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Aloha :)


Du hast 3 blaue und 3 rote Kugeln. Eine davon wird gezogen und wieder zurückgelegt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass blau gezogen wird, ist:\(\quad p=\frac{3}{6}=\frac12\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass rot gezogen wird, ist:\(\quad p=\frac{3}{6}=\frac12\)

Da die gezogene Kugel immer wieder zurückgelegt wird, ist der Ausgangszustand vor jeder Ziehung gleich. Im ersten Versuch sind 3 blaue und 3 rote Kugeln drin, im zweiten Versuch ebenfalls, im dritten auch... Es ist daher egal, welche Kugel im vorigen Versuch gezogen wurde, die Situation bleibt immer dieselbe. Daher sind die Ereignisse \(A\) und \(B\) unabhängig voneinander.


Anders wäre es, wenn die gezogene Kugel nicht zurückgelgt wird. Im ersten Versuch gilt:$$p_1(\text{rot})=\frac{3}{6}=\frac12\quad;\quad p_1(\text{blau})=\frac36=\frac12$$Im zweiten Versuch fehlt nun aber eine Kugel.

Falls im ersten Zug rot gezogen wurde, gilt nun:$$p_2(\text{rot}\big|\text{rot im 1. Zug})=\frac{2}{5}\quad;\quad p_2(\text{blau}\big|\text{rot im 1. Zug})=\frac{3}{5}$$Und falls im ersten Zug blau gezogen wurde, gilt nun:$$p_2(\text{rot}\big|\text{blau im 1. Zug})=\frac{3}{5}\quad;\quad p_2(\text{blau}\big|\text{blau im 1. Zug})=\frac{2}{5}$$


Du musst ein bisschen trainieren, um eine Gespür dafür zu kriegen, wann Ereignisse voneinander unabhängig sind und wann nicht.

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Ist P(B/A) und P( A und B) das gleiche?

Nicht ganz...

\(P(B|A)\) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von \(B\), wenn \(A\) bereits eingetreten ist.

\(P(A\cap B)\) ist die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten von \(A\) und \(B\).

Zwischen diesen Wahrscheinlichkeiten gibt es aber einen Zusammenhang:$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

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Hallo

du hast eine rote Kugel gezogen, siehst sie an und legst sie zurück: jetzt ist der Ausgangszustand wieder erreicht, die Hälfte der Kugeln ist blau

wieso solltest du dann blau mit 1/4 Wk bekommen?

ohne Zurücklegen wäre das Ergebnis nicht 1/2 sondern 2/5 also auch nicht 1/4

dein 1/4 bekommst du wenn du 2 mal (mit zurücklegen) ziehst und nach der Wk fragst eine rote und eine blaue Kugel zu haben

lul

Avatar von 108 k 🚀

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