Weisen Sie nach, dass B=... eine Basis von R4 ist

Question

Könnte mir jemand a) und b) vorrechnen? Hab leider keine Ahnung wie ich überhaupt anfangen soll, danke.

Text erkannt:

16.12 Gegeben seien die Vektoren
\( \vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right), \vec{v}_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right), \vec{v}_{4}=\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ d \end{array}\right) \)
(a) Weisen Sie nach, dass \( B=\left(\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}, \vec{v}_{4}\right) \) eine Basis von \( \mathbb{R}^{4} \) ist, wenn \( b \neq d \) gilt.
(b) Wählen Sie \( a=1, b=2, c=3 \) und \( d=-1 \) und bestimmen Sie die Koordinaten von \( \vec{w} \) mit \( (\vec{w})_{B}=(1,2,-2,-1) \) bezüglich der kanonischen Basis.

Answer 1

Hallo

eine Basis sind je 4 linear unabhängige. Vektoren, also weise das nach.

danach wb einfach aus den 4 en linear kombinieren, die Koeffizienten sind dann die Komponenten in der Basis B

lul

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu (a) Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix entspricht dem \(n\)-dimensionalen Volumen, das die \(n\) Zeilenvektoren bzw. die \(n\) Spaltenvektoren aufspannen (beide Volumina sind gleich). Wenn hier also die genannten 4 Vektoren eine Basis für einen 4 dimensionalen Raum bilden sollen, muss das von ihnen aufgespannte 4-dim. Volumen \(\ne0\) sein.

$$V=\left|\begin{array}{rrrr}2 & 0 & 0 & a\\1 & 3 & 1 & b\\2 & 0 & 4 & c\\1 & 3 & 1 & d\end{array}\right|\stackrel{(Z_4-=Z_2)}{=}\left|\begin{array}{rrrr}2 & 0 & 0 & a\\1 & 3 & 1 & b\\2 & 0 & 4 & c\\0 & 0 & 0 & d-b\end{array}\right|=-(d-b)\left|\begin{array}{rrrr}2 & 0 & 0\\1 & 3 & 1\\2 & 0 & 4\end{array}\right|$$$$\phantom{V}=(b-d)\cdot2\cdot(3\cdot4-0\cdot1)=24(b-d)\stackrel{!}{\ne}0$$Die 4 Vektoren bilden also genau dann eine Basis des \(\mathbb R^4\), wenn \(b\ne d\) gilt.

zu (b) Die Komponenten der 4-Basisvektoren \(\vec v_i\) sind bezüglich der kanonischen Basis angegeben. Daher brauchen wir sie nur entsprechend der Komponenten des Vektors \(\vec w_B\) linear miteinander zu kombinieren:$$\vec w_B=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\\-1\end{pmatrix}_B=1\cdot\vec v_1+2\cdot\vec v_2+(-2)\cdot\vec v_3+(-1)\cdot\vec v_4$$$$\vec w_B=\begin{pmatrix}2\\1\\2\\1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0\\3\\0\\3\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\1\\4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-9\\6\end{pmatrix}$$