Vektoren als Basis des R4

Question

Aufgabe:

a) Ist die Menge von Vektoren \( \{(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)\} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{4} \) ?

b) Wenn ja, was sind die Koordinaten von \( (0,0,0,1) \) bezüglich dieser Basis?

Problem/Ansatz:

Comments

Was ist denn dein Ergebnis?

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Determinante einer Matrix gibt das Volumen an, das ihre Spalten- oder Zeilenvektoren aufspannen. Wenn also die Determinante aus den 4 Vektoren \(\ne0\) ist, spannen sie ein 4-dimensionales Volumen und damit den \(\mathbb R^4\) auf:$$\operatorname{det}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=1\ne0\quad\checkmark$$Die 4 Vektoren bilden also eine Basis des \(\mathbb R^4\).

zu b) Das erkennt man eigentlich sofort:$$\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}$$

Comments

Danke sehr!

Wieso wird bei b) 1 ,(-1), 0 und 0 mit Vektoren multipliziert ?

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Vor allem habe ich -1 nicht verstanden?:(

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Bei Teil (b) geht es darum, den Vektor \((0;0;0;1)^T\) als lineare Kombination der Basis \(B\) aus Teil (a) zu schreiben. Dazu braucht man nur die beiden ersten Vektoren aus \(B\) voneinander zu subtrahieren:$$\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}$$Die beiden letzten Vektoren aus \(B\) werden gar nicht benötigt. Wir schreiben sie der Vollständigkeit halber dazu:$$\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$Die Koeffizienten, die vor den Vektoren aus \(B\) stehen, bilden nun die Komponenten eines neuen Vektors:$$\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\boxed{1}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}+\boxed{-1}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+\boxed{0}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+\boxed{0}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}$$Das kleine \(B\) an dem Ergebnisvektor soll andeuten, dass sich die Koordinaten des Vektors auf die Basis \(B\) beziehen.

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Alles klar! Danke dir!