Bestimmen Sie jeweils eine Basis von U ∩ W und U + W, U,W sind UVR des R4

Question

Gegeben seien die folgenden Untervektorräume des ℝ⁴


U = span ( \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 3\\2\\8\\-3 \end{pmatrix} \) )

W = span ( \( \begin{pmatrix} 4\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\4\\-1 \end{pmatrix} \) ) ⊆ℝ⁴

Bestimmen Sie jeweils eine Basis von U ∩ W und U + W und bestätigen Sie an diesem Beispiel
die Gültigkeit der Dimensionsformel für Unterräume.

Hallo,

meine Herangehensweise wäre hier, dass ich für U + W beispielsweise das ganze in einen span von den 4 Vektoren schreibe und aus diesen 4 Vektoren dann eine Basis bilde. Mein Problem hierbei ist jedoch, dass ich den span quasi "ignoriere", also ich weiß nicht genau was der span mir hier sagen soll.

Answer 1

Der "span" ist die Menge aller möglichen Linearkombinationen.

Also bei U+W alles was sich durch eine Linearkombination

der 4 Vektoren bilden lässt. Und das passt auch; denn wenn

du eine Summe mit einem Summanden aus U und einem aus W

hast, dann lässt sich der 1. Summand durch die ersten beiden

Erzeugenden und der 2. Summand durch den 3. und 4. ausdrücken, also

in der Tat ist U+W genau das, was durch den Span der 4 gegeben ist.