diskreter Zufallsgröße, Welche Werte kann Zufallsgröße annehmen und was sind die Einzelwahrscheinlichkeiten?

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei die Verteilungsfunktion F_1(x) einer diskreten Zufallsgröße X_1:

Text erkannt:

\( F_{1}(x)=\left\{\begin{array}{lcc}0 & \text { für } & x<-1 \\ 0,2 & \text { für } & -1 \leq x<0 \\ 0,4 & \text { für } & 0 \leq x<3 \\ 0,9 & \text { für } & 3 \leq x<4 \\ 1 & \text { für } & 4 \leq x\end{array}\right. \)

a) Bestimmen Sie die Werte, die die diskrete Zufallsgröße X_1 annehmen kann und die dazugehörigen Einzelwahrscheinlichkeiten

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nichts mehr, ich kenne die Menge Omega ja nicht, wie soll ich da dann irgendwas berechnen

Bitte Hilfe :D

Answer 1

Es ist zum Beispiel \(P(0,123 \leq X \leq 2,345) = F_1(2,345) - F_1(0,123) = 0,4 - 0,4 = 0\).

Die Zufallsgröße \(X\) kann deshalb keine Werte zwischen \(0,123\) und \(2,345\) annehmen.

Wie muss ein Intervall aussehen, damit die Wahrscheinlichkeit dieses Intervalls nicht 0 ist, sondern zum Beispiel 0,5? In diesem Intervall muss dann ein Wert liegen, den die Zufallsgröße annehmen kann.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Zufallsgröße \(X\) ist diskret, nimmt also nur ganzzahlige Werte an.

Damit können wir die Intervalle in der Verteilungsfunktion umschreiben:

$$F(x)=\left\{\begin{array}{rll}0 &\text{für }x<-1 & \implies\text{keine Werte unter \((-1)\)}\\0,2 &\text{für }-1\le x<0 & \text{bzw. für }x=-1\\0,4 &\text{für }0\le x<3 & \text{bzw. für }x=0\lor x=1\lor x=2\\0,9 &\text{für }3\le x<4 & \text{bzw. für }x=3\\1,0 &\text{für }4\le x& \text{bzw. für }x=4\end{array}\right.$$

Das ergibt die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:$$\begin{array}{c|rrrrr}x= & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline p=&0,2 & 0,2 & 0,0 & 0,0 & 0,5 & 0,1\end{array}$$

Für alle Werte \(<-1\) oder \(>4\) liegt die Eintrittswahrscheinlichkeit bei \(0\).