Komplexe Zahl bestimmen ohne Taschenrechner

Question

Aufgabe:

wie kann ich die Komplexe Zahl ( \( \sqrt{3} \)+i)^20  bestimmen ohne Taschenrechner

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Ein guter "Trick" bei solchen Aufgaben ohne TR ist es, die ersten paar Potenzen auszurechnen, in der Hoffnung, dass sich unterwegs ein einfaches Ergebnis ergibt:

$$z=\left(\sqrt3+i\right)$$$$z^2=\left(\sqrt3+i\right)^2=(\sqrt3)^2+2i\sqrt3+i^2=3+i2\sqrt3-1=2+i2\sqrt3$$$$z^3=z^2\cdot z=(2+i2\sqrt3)(\sqrt3+i)=2\sqrt3+\underbrace{i2(\sqrt3)^2}_{=6i}+2i+\underbrace{i^22\sqrt3}_{=-2\sqrt3}=8i$$

Damit sind wir auch schon fertig:$$z^{20}=z^{18}\cdot z^2=\left(z^3\right)^6\cdot z^2=(8i)^6\cdot(2+i2\sqrt3)=\underbrace{8^6}_{=(2^3)^6=2^{18}}\cdot\underbrace{(i^2)^3}_{=(-1)^3=-1}\cdot2\cdot(1+i\sqrt3)$$$$z^{20}=2^{18}\cdot(-1)\cdot2\cdot(1+i\sqrt3)=-2^{19}(1+i\sqrt3)$$

Answer 2

Bestimme von der komplexen Zahl z= \( \sqrt{3} \)+i das Argument und den Betrag.

Was erhältst du?

(Hier kommt dein Einsatz):

PS:

Danach musst du einen der beiden Werte verzwanzigfachen und den anderen der beiden Werte hoch 20 nehmen.

Aber eins nach dem anderen.

Comments

Es war eine Lösung ohne TR gesucht.

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Es war eine Lösung ohne TR gesucht.

Ich würde vermuten, du kannst hier das Argument und den Betrag auch ohne den Taschenrechner bestimmen.

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Es war eine Lösung ohne TR gesucht.

Tschaka - Du überrascht mich!

Wozu brauchst Du bei der Bestimmung des Arguments und des Betrages von \(z=\sqrt 3 + i\) einen Rechner?? Ich brauche da überhaupt nichts rechnen. Das schöne ist ja, dass man sich komplexe Zahlen in der Ebene auch graphisch vorstellen kann.

Wenn ich das tue, dann sehe ich: $$\arg(z)= \frac \pi6\quad |z|=2$$Man sollte wissen wie ein gleichseitiges Dreieck aussieht, dann geht das!

Notfalls kann man ja \(\sqrt{\sqrt 3^2 + 1^2}\) 'rechnen' ;-)