Aloha :)
Hast du bemerkt, dass du 2-mal integrieren musst?
$$f''(x)=3x-2$$$$f'(x)=\frac32x^2-2x+C_1$$$$f(x)=\frac12x^3-x^2+C_1x+C_2$$
Nun erhältst du 2 Gleichungen für die beiden Integrationskonstanten:
$$1=f(0)=C_2\implies C_2=1$$$$0=f(1)=\frac12-1+C_1+C_2=\frac12-1+C_1+1=\frac12+C_1\implies C_1=-\frac12$$
Die Funktion lautet also:$$f(x)=\frac12x^3-x^2-\frac x2+1$$