Question

Habe ich diese Ableitung so korrekt gemacht:

f(y) = x*y³ / x² + 1

f'(y) = $$ \frac{3xy^2*(x^2+1)-xy^3*0}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^3y^2+3xy^2}{x^4+2x^2+1} $$

Die Lösung besagt aber:

(x / x² + 1) * 3y²

Mir geht es vor allem um meinen Rechenweg, was genau ich falsch gemacht habe (wenn da denn was falsch ist und nicht nur einfach ordentlich gekürzt werden muss).

Comments

Offenbar hast du nach der Quotientenregel abgeleitet. Das ist hier unnötig.
Du musst nur \(y^3\) ableiten und dabei den konstanten Faktor \(\large\frac x{x^2+1}\) übernehmen.

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https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

Aloha :)

Die Quotientenregel hast du richtig angewendet. Du hast allerdings nicht gekürzt:$$f'(y)=\frac{3xy^2\cdot(x^2+1)-xy^3\cdot0}{(x^2+1)^2}=\frac{3xy^2\cdot\pink{(x^2+1)}}{(x^2+1)\cdot\pink{(x^2+1)}}=\frac{3xy^2}{x^2+1}=\frac{x}{x^2+1}\cdot3y^2$$

Comments

Wenn da $$ \frac{3xy^2}{x^2+1} $$, könnte man dann nicht x auch kürzen?
Dann sollte da doch 3y^2 / x+1 stehen, oder?

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Nein, du kannst \(x\) nicht kürzen. Beim Kürzen steichst du Faktoren, die im Zähler und im Nenner gemeinsam vorkommen. Im Nenner gibt es aber kein Multiplikationszeichen und daher auch keine Faktoren.

Anders sähe es aus, wenn im Nenner an Stelle der \(1\) ein \(x\) stehen würde:$$\frac{3xy^2}{x^2+x}=\frac{3\cdot \pink x\cdot y^2}{\pink x\cdot(x+1)}=\frac{3y^2}{x+1}$$