Anfangswertaufgabe einer inhomogenen DGL 2. Ordnung

Question

Aufgabe:

Löse folgende Anfangswertaufgabe:

y“+6y‘+8y=16t    y(0)=0, y‘(0)=0

Problem/Ansatz:

spezielle Lösung händisch kommt bei mir raus:

y(t)= -e^-2t + e^-4t + 2t

In GeoGebra allerdings etwas komplett anderes.

Könnte das jemand auf die Schnelle rechnen und mir mitteilen ob das richtig/falsch ist?

Danke

Answer 1

y“+6y‘+8y=16t , y(0)=0, y‘(0)=0

charakt.Gleichung: k^2 +6k+8=0

k1= -4

k2= -2

---->

\( yh(t)=c_{1} e^{-4 t}+c_{2} e^{-2 t} \)

yp= A+Bt

yp'= B

yp'' =0

->Einsetzen in die DGL:

6B +8(A+Bt)= 16t ->Koeffizientenvergleich

6B +8A +8Bt= 16t

t^0: 6B +8A=  0 -> A=-3/2

t^1: 8B=16 ->B=2

->yp= (-3/2) +2t

y=yh+yp

->die AWB eingesetzt:

\( y(t)=2 e^{-2 t}-\frac{e^{-4 t}}{2}+2 t-\frac{3}{2} \)

Ansätze part. Lösung:

https://homepages.thm.de/~hg8070/math2kmub06/dgl_ansaetze.pdf

Comments

Oh danke dachte man lässt das B weg bei dem Lösungsansatz da ich ja nur 16t für die Störfunktion hab danke.

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nein, Du mußt immer vollständig bis zu dem entsprechenden Term ansetzen und

nichts weglassen.

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Eine Frage hätte ich da noch. Als Lösungsansatz hast du A+Bt statt dem üblichen At+B. Woher kommt das bzw. wie weiß ich das ich den so anwenden soll/kann? Wobei dies natürlich nur A und B vertauscht aber hat das irgendein speziellen grund?