Ich sitze hier gerade vor folgender DGL:
$$ m\cdot \ddot{x}+k\cdot x= \hat{F}\cdot \sigma(t) $$
$$\sigma(t\geq0)=1$$
Ansatz der homogenen Lösung:
Eigenwerte berechnen (homogene DGL = 0)
Nun wähle ich folgenden Ansatz:
$$x_h = \hat{x}\cdot e^{\lambda t}$$
$$\dot{x}_h = \hat{x}\cdot \lambda \cdot e^{\lambda t}$$
$$\ddot{x}_h = \hat{x}\cdot \lambda^2 \cdot e^{\lambda t}$$
$$ m\cdot \hat{x}\cdot \lambda^2 \cdot e^{\lambda t}+k\cdot \hat{x}\cdot e^{\lambda t}= 0 $$
bzw:
$$ (m\cdot \lambda^2 +k)\cdot \hat{x}\cdot e^{\lambda t}= 0 $$
Und erhalte daraus das charakteristische Polynom:
$$ m\cdot \lambda^2 +k= 0 $$
Nun zu meiner (ersten) Frage: Bekomme ich hierbei einen oder zwei Eigenwerte heraus? Eine DGL 2. Ordnung besitzt ja maximal 2 Eigenwerte, hier könnte ich ja aber direkt nacht lambda umstellen und hätte somit eine Lösung mit negativem Radikant:
In dem Fall wäre das:
$$\lambda=\sqrt{-\frac{k}{m}}$$
wobei ich hier mit der komplexen Zahl den j^2=-1 zu:
$$\lambda=j \cdot\sqrt{ \frac{k}{m}}$$
Lambda ist aber soweit ich das jetzt beurteilen kann definiert mit:
$$\lambda=\alpha\pm j\omega_0, \,\,\,wobei \,\,\sqrt{ \frac{k}{m}}=\omega_0$$
alpha ist der Realteil und jw der Imaginärteil von Lambda.
Zweite Frage: Im Falle, dass es hier insgesamt zwei Lösungen für Lambda (mit negativem Radikanden) gibt:
könnte ich den reellen Ansatz für die homogene Lösung nehmen:
$$x_h = e^{\alpha t}(A cos \cdot(\omega_0 t)+B \cdot sin(\omega_0 t))$$
da alpha = 0
nte ich den reellen Ansatz für die homogene Lösung nehmen:
$$x_h = A \cdot cos(\omega_0 t)+ B \cdot sin(\omega_0 t)$$
Viele Dank schonmal für das Durchlesen. Über Hilfe würde ich mich freuen.
