Inhomogene Dgl 2. Ordnung: y'' - 4x = 8x^3. Wie ist hier partikulärer Ansatz?

Question

Ich habe bisher nur Ausnahmefälle zu diesem Thema behandelt und mir ist nicht klar, wie ich bei folgende Aufgabe die partikuläre Lösung berechne. Siehe Bild. Könnte ich dafür eine Erklärung und vielleicht auch eine Vorrechnung bekommen?

\( \begin{array}{ll}{\text { (3) } y^{\prime \prime}-4 y=8 x^{3}} & {\text { mit } y(0)=5} \\ {y^{\prime}(0)=-3}\end{array} \)

1. Schritt:  \( y^{\prime \prime}-4 y=0 \) lösen
\( x^{2}-4 x=0 \)
\( x^{2}-4 x+0 \quad x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p^2}{4}-q\right)}\)
\(=2\pm{\sqrt{4-0}} \)
\( x_{1}=4 \)
\( x_{2}=0 \)
\(Y_{h}(x)=C_{1}\cdot e^{4x}+C_{2}\cdot e^{0} \)
\(Y_{h}(x)=C_{1}\cdot e^{4x}+C_{2} \)

2. Schritt: Ansatz vom Typ der Störfunktion
\(Y_{p}=\)

Answer 1

Deine homogene Lösung ist falsch.

Meine Berechnung:

Comments

2. Teil:

Answer 2

du hast ja schon richtig aufgeschrieben

"Ansatz von Typ der Störfunktion".

Dir Störfunktion  ist hier g(x)=8x^3,

also eine Potenzfunktion dritten Grades.

Als Ansatz wählst du nun also ein Polynom dritten Grades:

yp(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D

Das leitet du zwei mal ab, setzt an der entsprechenden Stelle ein und löst nach A,B,C,D mithilfe eines Koeffizienten Vergleichs auf.

Comments

Danke, aber da ist mir jetzt nicht ganz klar, warum mit A,B,C,D vier Glieder dahin. Ich habe habe ja nur das eine, also A. Fallen B,C,D dann einfach raus?

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Die Störfunktion  ist vom Typ  s(x) = Ax³+Bx²+Cx+D

du musst diesen Ansatz schon "komplett" benutzen

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf