Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x². Gesucht ist die Ableitung an der Stelle x₀ = 3.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x². Gesucht ist die Ableitung an der Stelle x₀ = 3.

1. Schritt: Term für den Differenzquotienten aufstellen: f(3 + h) - f(3) / h = (3 + h)² / h.

2. Schritt Differenzquotient so umformen, dass h im Nenner wegfällt ( oder das der Nenner für h → 0 gegen einen von Null verschiedenen Wert strebt). Für h ≠ 0 gilt:

(3 + h)² - 3² / h = 9 + 6h + h² - 9 / h = 6h + h² / h = (6 + h) * h / h = 6 + h

3. Schritt: Umgeformten Term für h → 0 untersuchen:

Für h → 0 erhält man 6 + h → 6. Die Ableitung an der Stelle x₀ = 3 ist f´(3) = 6.

Problem/Ansatz:

Die ist eine Beispielaufgabe in meinem Mathebuch allerdings verstehe ich nicht, wo bei Schritt 2. in "9 + 6h + h² - 9 / h" die 6h herkommen.

Comments

Das ist doch nur die binomische Formel korrekt angewandt

Answer 1

(3 + h)² wurde ausmultipliziert.

Zur Erinnerung: (a+b)² = a² + 2ab + b².

Answer 2

Allgemeine Formel:
\( \frac{d f(x)}{d x}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\left(x_{0}+h\right)^{2}-x_{0}^{2}}{h} \)
\( f(x)=x^{2} \) an der Stelle \( x_{0}=3 \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{(3+h)^{2}-9}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{9+6 h+h^{2}-9}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{6 h+h^{2}}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0}(6+h)=6 \)

Comments

Es könnte sein, dass der Frager wissen wollte, wo in

die \(6h\) herkommen...

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Für den Fragesteller:

Wenn (3+h)^2 ausgerechnet wird, gibt es 9+6h+h^2

Allgemeine Formel:

(a+b)^2=a^2+2*a*b+b^2

Answer 3

Weil die Werte über den Bruchstrich quasi im Klammer stehen und jedes der Werte wird hier erstmal durch h geteilt:

f(3+h)=(3+h)^2=9+6h+h^2

f(3)=3^2=9

Dann steht:

((9+6h+h^2)-9)/h

=(6h+h^2)/h=(6h+h^2)*(1/h) Dann Distributivgesetz

=6h/h+h^2/h

=6+h und dann h nach 0 gehen lassen liefert:

6