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Aufgabe:

Ein Skifahrer möchte den WR beim Skispringen verbessern und kann beschließen,
in einem beliebigen Winkel θ von der Plattform abzuheben. Welchen Winkel θ sollte der
Skifahrer unter Vernachlässigung aller äußeren Kräfte außer der Schwerkraft wählen, um die
Länge des Sprungs l(θ) (ausgehend vom Ort des Absprungs am Boden i.e. wenn sich nur
Luft unter den Skiern befindet) zu maximieren?

blob.png

Hinweis: Die Höhe des Skifahrers zum Zeitpunkt \( t \), i.e. \( h(t) \) ist gegeben durch
\( h(t)=h_{0}+t v_{y}-\frac{g t^{2}}{2}=h_{0}+t v \sin \theta-\frac{g t^{2}}{2} \)
wobei \( h_{0} \) die Abflughöhe, \( v_{y} \) die vertikale Komponente der Geschwindigkeit beim Abflug, \( g \) die Erdbeschleunigung ist.



Problem/Ansatz:

Bin leider etwas verwirrt, hab ich nicht viel zu wenig Daten um das berechnen zu können? vll kann mir ja wer weiterhelfen...

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Hallo,

wo wie ich es verstehe, brauchst Du "nur" den Zeitpunkt T bestimmen, wenn der Skispringer auf dem Boden landet, also h(T)=0. Und dann ausrechnen, wie weit er geflogen ist, also \(I(\theta)=v \cos(\theta)T\).

Gruß Mathhilf

hast Du schon mal was von der Optimierung nach der Lagrange-Methode gehört?

2 Antworten

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Hallo,

wenn Du den 'Standardweg' nimmst, so kommst Du zu einer Funktion Sprungweite \(d\) in Abhängigkeit von Absprungwinkel \(\theta\) von$$h(t)=h_{0}+t v \sin \theta-\frac{g t^{2}}{2}\\ h(t_0)=0 \implies \\ \begin{aligned} 0 &= h_{0}+t v \sin \theta-\frac{g t^{2}}{2}\\ 0 &= t^2 - \frac{2v \sin\theta}{g} - \frac{2h_0}{g}\\ t_{0\space 1,2} &= \frac{v \sin\theta}{g} \pm \sqrt{\frac{v^2 \sin^2\theta}{g^2}+ \frac{2h_0g}{g^2}}\\ &= \frac 1g\left(\sin\theta \pm \sqrt{v^2 \sin^2\theta + 2h_0g}\right) \end{aligned}\\\begin{aligned} d(\theta) &= v\cos\theta \cdot t_0 \\ &= \frac{v\cos\theta}g \left(\sin\theta \pm \sqrt{v^2 \sin^2\theta + 2h_0g}\right)\end{aligned}$$Das gilt es nun abzuleiten, das geht noch, aber nach dem 0-Setzen muss es nach \(\theta\) aufgelöst werden, was mindestens unübersichtlich wird.

IMHO einfacher ist der Weg über den Lagrange-Multiplikator. Hier stellt man aus der zu optimierenden Funktion (der Sprungweite \(d\))$$d(\theta, t) = v\cos\theta \cdot t$$und der Nebenbedingung$$h_{0}+t v \sin \theta-\frac{g t^{2}}{2}=0$$die Lagrange-Funktion auf$$\mathcal L(\theta,\,t,\,\lambda) = tv\cos\theta + \lambda\left(h_{0}+t v \sin \theta-\frac{g t^{2}}{2}\right)$$und leitet nach \(\theta\) und \(t\) ab$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial \theta} = -tv\sin\theta + \lambda tv\cos\theta\to 0 \\ \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} = v\cos\theta + \lambda\left(v \sin \theta - gt\right)\to 0 $$Die Ableitungen werden wie gewohnt zu 0 gesetzt und das \(\lambda\) eliminiert$$\begin{aligned} -\left(v \sin \theta - gt\right)tv\sin\theta &=v\cos\theta tv\cos\theta \\ \left(gt -v \sin \theta\right)\sin\theta &=\cos^2\theta v \\ gt \sin\theta &= v \\ t &= \frac{v}{g\sin\theta}\\ \end{aligned}$$das so gewonnene \(t\) setzt man in die Nebenbedingung ein$$\begin{aligned} 0&=h_{0}+  v \frac{v}{g}-\frac{g \left(\frac{v}{g\sin\theta }\right)^{2}}{2}\\ 0&=2h_{0}g+  2v^2-\left(\frac{v}{\sin\theta }\right)^{2}\\ \left(\frac{v}{\sin\theta }\right)^{2}&=2h_{0}g+  2v^2\\ \sin^2\theta &= \frac{v^2}{2h_{0}g+  2v^2} \\ \sin\theta &= \frac12 \sqrt{\frac{2}{\frac{h_{0}g}{v^2}+  1}} &&|\, \sin\theta \ge 0\\ \end{aligned}$$Zur Erläuterung hier ein Funktionsplot:

https://www.desmos.com/calculator/gghsj3itmu

Im Koordinatensystem ist nach rechts der Absprungwinkel in [Grad] aufgetragen. Nach oben ist die Zeit \(t\) in [Sekunden] aufgetragen, die sich der Springen noch oberhalb des 0-Niveaus befindet. Als Beispiel habe ich eine Absprunghöhe von \(h_0=10\,\text m\) und eine Absprunggeschwindigkiet von \(18\,\text m/\text s\) gewählt.

Der blaue Graph gibt die Nebenbedingung an und die roten Linien sind Höhenlinien der Zielfunktion \(d(\theta,t)\). Umso dicker desto weiter. Die erste gestrichelte Linie entspricht der Weite \(d=36\,\text m\) und die dickste LInie einer Weite von \(d=48\,\text m\).

Das Optimum von hier ca. \(38°\) ist genau dann erreicht, wenn die Nebenbedingung den selben Gradienten hat wie die Zielfunktion an dieser Stelle. D.h. dort wo der blaue Graph die mittlere Höhenlinie \(d=42\,\text m\) gerade berührt. Und genau diese macht sich die Rechnung oben zu Nutze.

Der grüne gestrichelte Graph ist die Kurve der optimalen 'Linie' \(t \cdot g\sin\theta = v\) (s.o.). Der Schnittpunkt dieser Linie mit der Nebenbedingung entspricht dem Einsetzen von \(t= \dots\) in die Nebenbedingung.

Gruß Werner

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Bestimme einen Term für die positive Nullstelle von \(h(t)\). Fasse diesen Term als Funktionsterm einer Funktion \(d(\theta)\) auf. Diese Funktion gibt in Abhängigkeit von \(\theta\) die Sprungweite an. Bestimme den Hochpunkt von \(d(\theta)\) im Intervall \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\).

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