Schnittgerade zweier Ebenen - Schnittgeradengleichung falsch

Question

Aufgabe:

Schnittgerade der Ebenen E1 und E2 bestimmen.
E1:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 4\\2\\7 \end{pmatrix} \) + λ \( \begin{pmatrix} 0\\3\\4 \end{pmatrix} \) + μ \( \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix} \)
E2:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\5\\-2 \end{pmatrix} \) + ω \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} \) + η \( \begin{pmatrix} 2\\7\\-1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Beim Gleichsetzen der beiden Ebenen entsteht ein LGS mit 4 Unbekannten und 3 Gleichungen. Durch die üblichen bekannten Verfahren eliminiere ich λ und μ. Ich erhalte -8ω - 9η = -8. Durch Umformen und dividieren durch -8ω erhalte ich ω = -1,125η + 1.
Ich setze ω in E2 ein um die Gleichung der Schnittgeraden von E1 und E2 zu erhalten:
g:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 6\\1\\4 \end{pmatrix} \) + η \( \begin{pmatrix} -4,875\\-1,625\\-1,625 \end{pmatrix} \)

Die Lösung im Anhang lautet aber:
g:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 5\\1\\5 \end{pmatrix} \) + η \( \begin{pmatrix} 22\\23\\16 \end{pmatrix} \)

Die Nutzung eines Online-Ebenenrechners hat (leider) auch zu g:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 6\\1\\4 \end{pmatrix} \) + η \( \begin{pmatrix} -4,875\\-1,625\\-1,625 \end{pmatrix} \) geführt.

Gleiches passiert mir auch bei weiteren Aufgaben der gleichen Art. Ich habe das Gefühl, dass ich das LGS mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten falsch behandle. Kann aber den Fehler nicht erkennen. Sowohl mittels Gauß, als auch den anderen üblichen Techniken für die Lösung eines LGS komme ich auf dieses Ergebnis. Es ist ausschließlich die Verwendung der Parameterform von E1 und E2 gefragt.

Ich habe eine Woche lang YT-Videos und Erklärungen zu dem Thema rauf und runter studiert und kann den springenden Punkt nicht finden. Ich bin Fernschülerin und kann sonst leider niemanden so einfach und direkt fragen. Die Beispielaufgaben in meinem Übungsbuch sind leider komplett ohne Rechenweg, so auch die Lösungen.

Mir ist auch bekannt, dass die Verwendung von Koordinatenform und Parameterform für die Bestimmung der Schnittgeraden einfacher ist. Möchte aber nicht zu den nächsten Aufgaben mit diesem Inhalt übergehen, ohne diese Verständnislücke hier zu schließen.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Die von mir oben genannten Schnittgeraden gehören nicht zu der von mir gefragten Aufgabe. Bin in der Zeile verrutscht. Das tut mir leid.

Hier das passende Gleichungssystem zur Aufgabe, das ich nicht lösen kann:

μ - 2ω - 2η = -3

3λ + 2μ + ω - 7η = 3

4λ + 2μ - 3ω + η = -9

Nach Umformung:

          17ω - 27η = 45

  2μ + 13ω - 31η = 39

-12λ - 6μ + 9ω - 3η = 27

Answer 1

Schreib doch mal die 4 Gleichungen, die du beim ersten Gleichsetzen erhältst auf, sowie deren Lösungen.

Du erhältst -8ω - 9η = -8. Ich erhalte 27η=17ω-45.

Comments

     λ + μ - 7ω - 3η = -3

-2λ + 2μ + 3ω + 5η = 7

-2λ + 2μ - 5ω - 4η = -1

Habe beim Aufschreiben zumindest einen Vorzeichenfehler in der ersten Zeile entdeckt.

Lösungen:

  λ + μ - 7ω - 3η = -3

2λ - 2μ - 3ω - 5η = -7

          - 8ω - 8η = -8 

Einsetzen von ω = -η +1 Führt dann zu g:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 6\\1\\4 \end{pmatrix} \) + η \( \begin{pmatrix} -4\\-8\\-1 \end{pmatrix} \)

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Sorry, vergiss meinen Kommentar. Bin in der Zeile verrutscht. Falsche Aufgabe.

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Hier die korrekten Gleichungen:  

   μ - 2ω - 2η = -3

3λ + 2μ + ω - 7η = 3

4λ + 2μ - 3ω + η = -9

Nach Umformung:

            17ω - 27η = 45

    2μ + 13ω - 31η = 39

-12λ - 6μ + 9ω - 3η = 27

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Nach Umformung:

          17ω - 27η = 45

  2μ + 13ω - 31η = 39

-12λ - 6μ + 9ω - 3η = 27

Hier hätte die erste Zeile: 17ω - 27η = 45 genügt, Ich erhalte 27η=17ω-45. (hatte ich bereits geschrieben)

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Wie gehe ich denn hier weiter vor?

Hier würde man doch nun üblicherweise die Zeile 27η=17ω-45 durch 27η dividieren.

Wenn ich aber η = \( \frac{17}{27} \)ω - \( \frac{45}{17} \) in E2 einsetze, erhalte ich nicht, wie im Lösungsanhang, g:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 5\\1\\5 \end{pmatrix} \) + η \( \begin{pmatrix} 22\\23\\16 \end{pmatrix} \). Bzw. g:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 5\\1\\5 \end{pmatrix} \) + ω \( \begin{pmatrix} 22\\23\\16 \end{pmatrix} \) in dem Fall.

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Hier würde man doch nun üblicherweise die Zeile 27η=17ω-45 durch 27η (nein,nur durch 27) dividieren. Wenn ich aber η = \( \frac{17}{27} \)ω - \( \frac{45}{17} \) (richtig wäre: η = \( \frac{17}{27} \)ω - \( \frac{45}{27} \)) in E2 einsetze, erhalte ich nicht, wie im Lösungsanhang,   

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Wenn ich η = \( \frac{17}{27} \)ω - \( \frac{45}{27} \) in E2: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\5\\-2 \end{pmatrix} \) + ω \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} \) + η \( \begin{pmatrix} 2\\7\\-1 \end{pmatrix} \) für η einsetze, erhalte ich

g: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} -\frac{7}{3}\\-\frac{20}{3}\\-\frac{1}{3} \end{pmatrix} \) + ω \( \begin{pmatrix} \frac{88}{27}\\\frac{92}{27}\\\frac{64}{27} \end{pmatrix} \)

was nicht der angegebenen Lösung entspricht. Also mache ich hier irgendwo einen Fehler den ich nicht erkenne, oder ich habe mit dem LGS nicht entsprechend zu Ende gearbeitet.

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was nicht der angegebenen Lösung entspricht

Doch. Wenn sie auch nicht wörtlich übereinstimmt.

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Ohje. Die Komponenten des Richtungsvektors ω multipliziert mit \( \frac{27}{4} \) führen tatsächlich zu \( \begin{pmatrix} 22\\23\\16 \end{pmatrix} \).

Am Stützvektor muss ich leider noch knobeln. Das werde ich nun aber selbst schaffen.

Schon mal unendlich vielen Dank dafür an Roland und hj2166!

Answer 2

Der Stützpunkt Deiner zweiten Ebene ist falsch. Er muss

\( \begin{pmatrix} 1\\-5\\3 \end{pmatrix} \) lauten

Comments

Ich rechne nach, ob ich das Gleichungssystem mit dem von dir genannten Stützpunkt der zweiten Ebene nun lösen kann.

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Lösung im Anhang: g:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 5\\1\\5 \end{pmatrix} \) + η \( \begin{pmatrix} 22\\23\\16 \end{pmatrix} \)

Mein Gleichungssystem mit deinem genannten Stützvektor:

           17ω - 27η = -27

  2μ + 13ω - 31η = -40

-12λ - 6μ + 9ω - 3η = -12

Mich irritieren die 17ω in der ersten Zeile.

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17ω - 27η = -27 ??

17ω - 27η = 45 war richtig.