Vektorfunktion mit Betrag, allgemeingültige Aussage

Question

Aufgabe:

Moin,

in Vorbereitung auf einen Leistungsnachweis in Mathe, bin ich auf folgende Frage gestoßen:

Gegeben ist eine Vektorfunktion \( \vec{a(t)} \)  mit dem Betrag a(t) . Vervollständigen Sie die Gleichung zu einer allgemeingültigen Aussage:

a(t)•\( \frac{da(t)}{dt} \) =  ▢ |\( \frac{\vec{a(t)}}{a(t)} \)| • \( \frac{a(t)}{dt} \)

             =  ▢ \( \frac{\vec{|a(t)|}}{|a(t)|^2} \) • \( \frac{\vec{da(t)}}{dt} \)

             =  ▢ a(t) • \( \frac{\vec{da(t)}}{dt} \)

             =  ▢ \( \vec{a(t)} \) • \( \frac{\vec{da(t)}}{dt} \)

Leider weiß keinen Ansatz, wäre super wenn mich jemand in die richtige Richtung leiten könnte.

Danke und Grüße

Answer 1

Hallo,

wie genau der Gedankengang bei der angegebenen Umformung sein soll, kann ich nicht nachvollziehen. Vielleicht liegt es auch an der Darstellung? Aber die Aussage ist richtig:

Um das Schreiben zu erleichtern, verwende ich für den Vektor Großbuchstaben und für den Betrag Kleinbuchstaben, also

$$A(t)=(a_1(t),a_2(t), \ldots),\qquad a(t)^2=a_1(t)^2+a_2(t)^2 + \cdots$$

Wenn man die rechte Beziehung differenziert:

$$2a(t)a'(t)=2a_1(t)a_1'(t)+2a_2(t)a_2'(t) + \cdots=2A(t) \bullet A'(t)$$

(Skalarprodukt: \(\bullet\)) Wenn man die 2 kürzt, hat man den 1. und letzten Term Deiner Gleichung.