DGL mit Produktansatz Separationsansatz lösen. Lösung bekannt, Rechenweg gesucht.

Question

Aufgabe:

Lösen Sie mit dem Produktansatz folgendes Randwertproblem im Bereich \( x, y>0 \)

\( y\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u(x, y)\right)-2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x} u(x, y)\right)-5 y u(x, y)=0 \)
\( u(0, y)=\frac{\partial}{\partial x} u(0, y)=e^{\frac{y^{2}}{2}} \)

Problem/Ansatz:

Den Rechenweg bzw. den ersten Ansatz dafür brauche ich sehr dringend.

Lösung:
\( u(x, y)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{x+x \sqrt{6}+\frac{1}{2} y^{2}+\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{x+\frac{1}{2} y^{2}-x \sqrt{6}} \)

Vielen Dank

Comments

Hallo,

Der erste Ansatz ist doch

u(x,y)=f(x)*g(y)

Wenn man das in die partielle Differentislgleichung einsetzt und umfotmt erhält man 2 gewöhnliche Differentialgleichungen. Wie weit kommst Du damit?

Answer 1

Wenn \( u(x,y) = f(x) \cdot g(y) \) gilt, folgt durch einsetzen ind die partielle Dgl.

$$ y f''(x) g(y) - 2 f'(x) g'(y) +5 y f(x) g(y) = 0 $$ oder auch

$$ \frac{ f''(x) - 5 f(x) } { f'(x) } = \frac{ 2 }{ y } \cdot \frac{ g'(y) }{ g(y) } $$ D.h. aber, es muss gelten

$$ (1) \quad \frac{ f''(x) - 5 f(x) } { f'(x) } =  k $$ und

$$ (2) \quad \frac{ 2 }{ y } \cdot \frac{ g'(y) }{ g(y) } = k $$

Gleichung (1) hat die Lösung $$ f(x) = A e^{\lambda_1 x} + B e^{ \lambda_2 x } $$ mit $$ \lambda_{1,2} = \frac{k}{2} \pm \sqrt{ \frac{k^2}{4}+5 } $$ und Gleichung (2) hat die Lösung $$ g(y) = C e^{ \frac{k}{4}y^2 } $$

Damit folgt aus $$ u(0,y) = e^{\frac{y^2}{2}} $$ das \( k = 2 \) und \( C (A+B) = 1 \) gelten muss.

Aus $$ u_x(0,y) = e^{\frac{y^2}{2}} $$ folgt dann \( A = B \) und damit \( C = \frac{1}{2A} \) und damit

$$ u(x,y) = \frac{1}{2} e^{\frac{y^2}{2}} e^x \left( e^{-\sqrt{6} x} + e^{\sqrt{6} x}  \right) = e^{\frac{y^2}{2}} e^x \cosh \left(\sqrt{6} x\right) $$

Deine von Dir angegebene Lösung ist also falsch.