Wie ist der Konvergenzbereich der Potenzreihen

Question

Text erkannt:

Potenzreihen: Bestimmen Sie den genauen Konvergenzbereich der Reihe
\( p(x)=\sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+1} 2^{i}}{i}(x+1)^{i} . \)

Hallo, kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen.

Comments

Habt Ihr schon die Begriffe Potenzreihe und Konvergenzradius besprochen?

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Ja haben wir, Quotienten- und Wurzelkriterium sind mir auch bekannt. Aber weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll

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Eine Potenzreihe hat die allgemeine Form:

$$\sum_{i=1}^{\infty}a_i(x-x_0)^i, \text{   hier } a_i=\frac{(-1)^{i+1}2^i}{i}, x_0=-1$$

Was sagt denn jetzt das Quotientenkriterium über den Konvergenzradius?

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Text erkannt:

\( \frac{\frac{2^{k+1}}{+1}}{\frac{2 i}{2_{i}}}=\frac{1+}{-1+i} \)

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Text erkannt:

\( \frac{\frac{(-1)^{k+2} 2^{k+1}}{k+1}}{\frac{(-1)^{i+1} 2 i}{i}}=\frac{i+(-1)^{k+2} 2^{k+1}}{1+\frac{1+1}{k i} \cdot 2 i+k+1} \)

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So würde ich anfangen

Answer 1

Aloha :)

$$p(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}2^n}{n}(x+1)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x+1)^n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{(-1)^{n+1}2^n}{n}$$

Wir bestimmen zuerst den Konvergenzradius der Potenzreihe nach Cauchy-Hadamard:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\left|\frac{(-1)^{n+1}2^n}{n}\right|}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{2^n}{n}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{2}=\frac12$$

Die Potenzreihe konvergiert also für:$$|x+1|<r=\frac12\implies-\frac12<x+1<\frac12\implies-\frac32<x<-\frac12\implies x\in\left(-\frac32\bigg|-\frac12\right)$$

Da wir den genauen Konvergenzbereich der Potenzreihe angeben sollen, müssen wir noch die Ränder des bisher ermittelten Konvergenzbereichs betrachten:

$$p\left(-\frac32\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}2^n}{n}\left(-\frac12\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{-(-1)^n\left(-\frac12\right)^n2^n}{n}=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\to-\infty$$$$p\left(-\frac12\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}2^n}{n}\left(\frac12\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{-(-1)^n\left(\frac12\right)^n2^n}{n}=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\to\ln(2)$$Wir müssen also die rechte Grenze mit in den Konvergenzbereich aufnehmen:$$x\in\left(-\frac32\bigg|-\frac12\right]$$

Answer 2

T war schneller und ausführlicher, dafür hier eine Variante zur Berechnung von r

Hallo,

zunächst musst Du unterscheiden zwischen dem Quotientenkriterium für Reihen und dem Qkrit zur Berechnung des Konvergenzradius - darum hatte ich zunächst gefragt, ob Ihr das besprochen habt. Letzteres ist - wenn der folgende Grenzwert existiert:

$$r:=\lim_{i \to \infty}\left| \frac{a_i}{a_{i+1}} \right|=\lim_{i \to \infty}\frac{2^i}{i}\frac{i+1}{2^{i+1}}=?$$

Dann ist gesichert, dass die Reihe im Intervall

$$-r < x-x_0=x+1<r$$

konvergiert.

Für die Randpunkte (x+1=r und x+1=-r) musst Du die Reihe dann gesondert untersuchen.

Gruß Mathhilf