Berechne dessen Koordinaten.(Punkte, Analysis, Wendepunkte)

Question

Aufgabe:

Durch den Punkt P(5/ ) des Graphen von f(x)= x³-6x²+5x und den Wendepunkt des Graphen von f wird eine Gerade g gelegt. Diese schneidet den Graphen von f in noch einem weiteren Punkt. Berechne dessen Koordinaten.

Problem/Ansatz:

Wendepunkt habe ich. W(2/-6). Aber den anderen Punkt kann ich nicht berechnen. Ich weiss nicht was ich mit P(5/ ) macht und es gibt bestimmt eine Regel wenn sich etwas schneidet? kann mir jemand kurz helfen danke

Answer 1

Hallo,

setze 5 in die Gleichung für x ein und du erhältst die y-Koordiante von P.

Setze die Geradengleichung = f(x), um den dritten Punkt zu finden.

Gruß, Silvia

Comments

Danke für die Antwort.

Habe P=(5/0) erhalten. Sry bin nicht so mathematisch begabt, was meinst du mit die Geradengleichung setzen, wo soll ich sie setzen?

thx und sorry

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Weißt du, wie man eine Geradengleichung aus 2 Punkten bestimmt?

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Nicht so ganz, bei mir vermischt sich vieles: Steigung ja und y=mx+b kenne es ja, aber mir ist nicht klar wie ich es hier anwenden soll. Lösung ist P(-1/-12) ich habe nur den einen Punkt... und Wendepunkt

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Du hast P und den Wendepunkt. Die Steigung m der Geradengleichung berechnest du so:

\(m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{0-(-6)}{5-2}=\frac{6}{3}=2\\ y=2x+b\\\)

b berechnest du, indem du Koordinaten eines Punktes einsetzt:

\(0=2\cdot 5+b\\ b=-10\\\)

Also lautet die Gleichung der Gerade y = 2x - 10

Diese setzt du mit f(x) gleich und löst nach x auf

\(x^3-6x^2+5x=2x-10\\ x^3-6x^2+3x+10=0\)

...

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DANKE Silvia!

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Hier gibt es noch einen Trick. JEDE kubische Funktion - d.h. ein Polynom mit \(x^3\) usw. - ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt \(W\),

Daher gilt dann immer: Verläuft eine Gerade durch den Wendepunkt \(W\) und schneidet den Graphen der kubischen Funktion \(f(x)\) in \(P\) - hier ist \(P=(5|\,f(5)) = (5|\,0)\) - dann liegt der dritte Schnittpunkt \(Q\) immer symmetrisch zu \(W\).

Hier konkret: Von \(W.x=2\) zu \(P.x=5\) muss man \(3\) hinzuzählen, also liegt die X-Koordinate von \(Q\) bei \(Q.x=W.x-3= -1\). Genauso liegt die Y-Koordinate \(P.y\) von \(P\) um \(6\) höher als \(W.y\), also liegt \(Q.y\) bei \(Q.y=W.y-6=-12\).

Hier nochmal zur Anschauung das Bild dazu:

https://www.desmos.com/calculator/3lb5c9ebxp

Man braucht also weder die Geradengleichung durch \(W\) und \(P\) aufstellen, noch die Nullstelle einer kubischen Funktion bestimmen.

Gruß Werner

Answer 2

f(x) = x^3 - 6·x^2 + 5·x

P(5 | 0)

W(2 | -6)

g(x) = (0 - (-6))/(5 - 2)·(x - 5) + 0 = 2·x - 10

f(x) = g(x) --> x = 5 ∨ x = 2 ∨ x = -1

g(-1) = - 12

Der weitere Punkt ist (-1 | -12)