Berechne dessen Koordinaten.(Punkte, Analysis, Wendepunkte)

Question

Aufgabe:

Durch den Punkt P(5/ ) des Graphen von f(x)= x³-6x²+5x und den Wendepunkt des Graphen von f wird eine Gerade g gelegt. Diese schneidet den Graphen von f in noch einem weiteren Punkt. Berechne dessen Koordinaten.

Problem/Ansatz:

Wendepunkt habe ich. W(2/-6). Aber den anderen Punkt kann ich nicht berechnen. Ich weiss nicht was ich mit P(5/ ) macht und es gibt bestimmt eine Regel wenn sich etwas schneidet? kann mir jemand kurz helfen danke

Answer 1

Hallo,

setze 5 in die Gleichung für x ein und du erhältst die y-Koordiante von P.

Setze die Geradengleichung = f(x), um den dritten Punkt zu finden.

Gruß, Silvia

Comments

Danke für die Antwort.

Habe P=(5/0) erhalten. Sry bin nicht so mathematisch begabt, was meinst du mit die Geradengleichung setzen, wo soll ich sie setzen?

thx und sorry

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Weißt du, wie man eine Geradengleichung aus 2 Punkten bestimmt?

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Nicht so ganz, bei mir vermischt sich vieles: Steigung ja und y=mx+b kenne es ja, aber mir ist nicht klar wie ich es hier anwenden soll. Lösung ist P(-1/-12) ich habe nur den einen Punkt... und Wendepunkt

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Du hast P und den Wendepunkt. Die Steigung m der Geradengleichung berechnest du so:

$m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{0-(-6)}{5-2}=\frac{6}{3}=2\\ y=2x+b\\$

b berechnest du, indem du Koordinaten eines Punktes einsetzt:

$0=2\cdot 5+b\\ b=-10\\$

Also lautet die Gleichung der Gerade y = 2x - 10

Diese setzt du mit f(x) gleich und löst nach x auf

$x^3-6x^2+5x=2x-10\\ x^3-6x^2+3x+10=0$

...

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DANKE Silvia!

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Hier gibt es noch einen Trick. JEDE kubische Funktion - d.h. ein Polynom mit $x^3$ usw. - ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt $W$,

Daher gilt dann immer: Verläuft eine Gerade durch den Wendepunkt $W$ und schneidet den Graphen der kubischen Funktion $f(x)$ in $P$ - hier ist $P=(5|\,f(5)) = (5|\,0)$ - dann liegt der dritte Schnittpunkt $Q$ immer symmetrisch zu $W$.

Hier konkret: Von $W.x=2$ zu $P.x=5$ muss man $3$ hinzuzählen, also liegt die X-Koordinate von $Q$ bei $Q.x=W.x-3= -1$. Genauso liegt die Y-Koordinate $P.y$ von $P$ um $6$ höher als $W.y$, also liegt $Q.y$ bei $Q.y=W.y-6=-12$.

Hier nochmal zur Anschauung das Bild dazu:

Man braucht also weder die Geradengleichung durch $W$ und $P$ aufstellen, noch die Nullstelle einer kubischen Funktion bestimmen.

Gruß Werner

Answer 2

f(x) = x³ - 6·x² + 5·x

P(5 | 0)

W(2 | -6)

g(x) = (0 - (-6))/(5 - 2)·(x - 5) + 0 = 2·x - 10

f(x) = g(x) --> x = 5 ∨ x = 2 ∨ x = -1

g(-1) = - 12

Der weitere Punkt ist (-1 | -12)