Zu 1.:
Sei \(z=a+bi\) mit \(Re(z)=a,\; Im(z)=b\).
Dann bedeutet die angegebene Bedingung:
\(a^2+b^2=(|a|+|b|)^2\),
also \(a^2+b^2=a^2+2|ab|+b^2\iff |ab|=0\iff a=0\vee b=0\).
Die Menge ist also \(=\mathbb{R}\cup\mathbb{R}i\).
Zu 2.:
Für komplexe Zahlen \(w\) gilt: \(Im(w)=(w-\overline{w})/(2i)\).
Angewendet auf unseren Fall bedeutet dies
$$0=Im(\frac{z-1}{z+i})=(\frac{z-1}{z+i}-\frac{\overline{z}-1}{\overline{z}-i})/(2i)=0\iff$$$$(z-1)(\overline{z}-i)-(\overline{z}-1)(z+i)=0\iff$$$$z\overline{z}-\overline{z}-iz+i-(\overline{z}z-z+i\overline{z}-i)=0\iff$$$$(z-\overline{z})-i(z+\overline{z})=-2i$$Mit \(z=a+bi\) ergibt das$$a-b=1$$Die Menge ist also$$\{a+(a-1)i:\;a\in \mathbb{R}\}$$