Komplexe Zahlen und komplexe Mengen: |z| = |Re(z)| + |Im(z)| und Im((z-1)/(z+i))

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen, ich hänge an folgenden beiden Aufgaben:

1.) Für welche komplexen Zahlen gilt |z| = |Re(z)| + |Im(z)|?

2.) Welche Punktmenge wird durch$$ Im(\frac{z-1}{z+i})=0 $$beschrieben?

Problem/Ansatz:

zu 1.) hab ich leider gar keine Idee. Habe einfach mal die Komponenten umgeschrieben in $$ \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{a^{2}}+\sqrt{b^{2}}$$  Das war's auch schon.

zu 2.) habe ich zunächst umgeschrieben in $$ \frac{a+ib-1}{a+ib+i}=\frac{a+ib-1}{a+ib+i}*\frac{(a+ib)-i}{(a+ib)-i} $$. Durch Ausmultiplizieren kam ich zu $$ \frac{a^{2}+2iab-ia+ab^{2}+b^{2}-ib+i}{a^{2}+2iab-b^{2}+1} $$ und hier hänge ich dann auch.

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar :)

Comments

Hallo,

um bei b) mit Deinem Ansatz zum Erfolg zu kommen, hättest Du mit

\(a-(b+1)i\)

erweitern müssen. Aber die Lösung von Ermanus ist sicher eleganter.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Zu 1.:

Sei \(z=a+bi\) mit \(Re(z)=a,\; Im(z)=b\).

Dann bedeutet die angegebene Bedingung:

\(a^2+b^2=(|a|+|b|)^2\),

also \(a^2+b^2=a^2+2|ab|+b^2\iff |ab|=0\iff a=0\vee b=0\).

Die Menge ist also \(=\mathbb{R}\cup\mathbb{R}i\).

Zu 2.:

Für komplexe Zahlen \(w\) gilt: \(Im(w)=(w-\overline{w})/(2i)\).

Angewendet auf unseren Fall bedeutet dies

$$0=Im(\frac{z-1}{z+i})=(\frac{z-1}{z+i}-\frac{\overline{z}-1}{\overline{z}-i})/(2i)=0\iff$$$$(z-1)(\overline{z}-i)-(\overline{z}-1)(z+i)=0\iff$$$$z\overline{z}-\overline{z}-iz+i-(\overline{z}z-z+i\overline{z}-i)=0\iff$$$$(z-\overline{z})-i(z+\overline{z})=-2i$$Mit \(z=a+bi\) ergibt das$$a-b=1$$Die Menge ist also$$\{a+(a-1)i:\;a\in \mathbb{R}\}$$

Answer 2

\( \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{a^{2}}+\sqrt{b^{2}}\)

Quadrieren ergibt

        \(a^2+b^2 = a^2 + |2ab| + b^2\)

also muss

        \(|2ab| = 0\)

sein.