Achsensymmetrie bei e-Funktionen nachweisen

Question

Aufgabe:

d) Gegeben ist die Funktion \( f \) mit der Gleichung \( f(x)=e^{-x^{2}+4 \cdot x}, x \in \mathbb{R} \).
(1) Für alle \( a \in \mathbb{R} \) gilt: \( f(2-a)=e^{-a^{2}+4} \).
Weisen Sie nach, dass für alle \( a \in \mathbb{R} \) gilt: \( f(2+a)=f(2-a) \).
(2) Interpretieren Sie die geometrische Bedeutung der Gleichung \( f(2-a)=f(2+a) \) für den Verlauf des Graphen von \( f \).
(3) Der Punkt \( P(4 \mid 1) \) liegt auf dem Graphen von \( f \).
Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \( f  \) im Punkt \( P(4 \mid 1) \).

Problem/Ansatz:

Hey, ich verstehe die Aufgabe (1) nicht...

Kann mir jemand erklären wie ich die lösen kann?

Vielen Dank schonmal,

Matheo

Answer 1

Berechne die Terme für \( e^{-(2+a)^{2}+4 \cdot (2+a)}\)  und \( e^{-(2-a)^{2}+4 \cdot (2-a)}\).

Zeige, dass dabei das Gleiche rauskommt.

Nachtrag: Da beide Terme die gleiche Form "e hoch..." haben, genügt es, die Identität der Exponenten zu zeigen. Zeige also, dass

 \( -(2+a)^{2}+4 \cdot (2+a)\)

und

\( -(2-a)^{2}+4 \cdot (2-a)\) identisch sind.

Übrigens: mit

Für alle \( a \in \mathbb{R} \) gilt: \( f(2-a)=e^{-a^{2}+4} \).

wird dir bereits verraten, dass der Term \( -(2-a)^{2}+4 \cdot (2-a)\) sich zu -a²+4 vereinfachen lässt. Das solltest du aber auch selbst herausbekommen.

Comments

Jetzt habe ich's verstanden..!

Vielen Dank!

Answer 2

Eine Bemerkung zur "Ursache" der Symmetrie:

Es ist \(f(x)=e^{-g(x)}\), wobei \(g(x)=x^2-4x=x(x-4)\)

eine Parabel beschreibt mit Nullstellen 0 und 4,

der Scheitelpunkt also bei \(x=(0+4)/2=2\) liegt.

Damit ist \(x=2\) eine Symmetrieachse,

d.h. \(g(2+a)=g(2-a)\; \forall a \in \mathbb{R}\),

folglich auch \(f(2+a)=f(2-a)\; \forall a \in \mathbb{R}\).