Herleitung mit Quotientenregel

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( g(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}+x} \) lässt sich als Quotient der Funktionen \( u(x)=e^{x} \) und \( v(x)=x^{2}+x \) interpretieren. Solche Funktionen können mit der Quotientenregel abgeleitet werden, die wir zunächst herleiten wollen:

a) Schreiben Sie \( g(x) \) als Produkt mit den Faktoren \( e^{x} \) und \( \left(x^{2}+x\right)^{-1} \).
b) Leiten Sie \( g \) mit Hilfe von Produkt- und Kettenregel ab.
Nun betrachten wir die allgemeine Funktion \( f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \).
c) Orientieren Sie sich an den Teilaufgaben a) und b) und zeigen Sie, dass für die Ableitung die folgende allgemeine Quotientenregel gilt:
\( f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}} \)
d) Leiten Sie \( g(x) \) nun nochmals mit Hilfe der Quotientenregel ab.

Problem/Ansatz:

Ich komm damit gar nicht klar

Answer 1

c)

g(x) = u(x) / v(x) = u(x) * (v(x))^{-1}

Ableitung mit Produkt- und Kettenregel

g'(x) = u'(x) * (v(x))^{-1} + u(x) * v'(x) * (-1) * (v(x))^{-2}

g'(x) = u'(x) / v(x) - u(x) * v'(x) / (v(x))^2

g'(x) = u'(x) * v(x) / (v(x))^2 - u(x) * v'(x) / (v(x))^2

g'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2

Das ist nun genau die Quotientenregel.