Aloha :)
Deine Ergebnisse für (a) und (b) sind korrekt.
In Teil (a) hast du den Funktionsterm vermutlich umgeschrieben:$$y(x)=\frac{\red{(x^2-9)}(x-2)}{\green{(x^2-6x+9)}(x-3)}=\frac{\red{(x-3)(x+3)}(x-2)}{\green{(x-3)^2}(x-3)}=\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)^2}$$
In Teil (b) hast du ihn zur Bestimmung der Asymptote erneut umgeschrieben:$$y(x)=\frac{x^2+x-6}{x^2-6x+9}=\pink1+\frac{x^2+x-6\pink{-(x^2-6x+9)}}{x^2-6x+9}=1+\frac{7x-15}{(x-3)^2}$$
In Teil (c) würde ich nun zum Ableiten die Darstellung aus Teil (b) wählen, denn die \(1\) fällt beim Ableiten ja einfach weg:$$y'(x)=\left(1+\frac{\overbrace{7x-15}^{=u}}{\underbrace{(x-3)^2}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{7}^{=u'}\overbrace{(x-3)^2}^{=v}-\overbrace{(7x-15)}^{=u}\cdot\overbrace{2(x-3)}^{=v'}}{\underbrace{(x-3)^4}_{=v^2}}$$$$\phantom{y'(x)}=\frac{7(x-3)-(14x-30)}{(x-3)^3}=\frac{9-7x}{(x-3)^3}$$