Ableitung mit der Quotientenregel bilden

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

6) Für die Funktion \( y=\frac{\left(x^{2}-9\right)(x-2)}{\left(x^{2}-6 x+9\right)(x-3)} \) sind folgende Untersuchungen durchzuführen:
a) Berechnung der Nullstellen und Unendlichkeitsstellen (9P)
b) Verhalten der Funktion für \( x \rightarrow \infty \) (Asymptote) (5P)
\( x_{v_{1}}=-3 ; x_{v_{2}}=2 \)
\( x_{p}=3 \)
c) Ermittlung der Extremwerte (8P).
(22P)
b) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=1 \)
c) \( \operatorname{MN}(9 / 7 ;-1.04) \)

Problem/Ansatz:

Bin mir bei dem vorgehen der Ableitung für Aufgabenteil c nicht sicher was der beste weg ist. Ich habe den Zähler und Nenner ausmultipliziert und anschließend mit der Quotientenrgel abgeleitet. Der Bruch ist natürlich jetzt sehr lang und es schleichen sich schnell Fehler ein. Gibt es eine bessere alternative als mein vorgehen?

Comments

Gibt es eine bessere alternative als mein vorgehen?

Binomische Formeln beherrschen. In beide Richtungen.

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Dazu noch das kleine 1x1 (in beiden Richtungen!), damit einem was auffällt, wenn man 3,6,9 sieht.

Answer 1

Aloha :)

Deine Ergebnisse für (a) und (b) sind korrekt.

In Teil (a) hast du den Funktionsterm vermutlich umgeschrieben:$$y(x)=\frac{\red{(x^2-9)}(x-2)}{\green{(x^2-6x+9)}(x-3)}=\frac{\red{(x-3)(x+3)}(x-2)}{\green{(x-3)^2}(x-3)}=\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)^2}$$

In Teil (b) hast du ihn zur Bestimmung der Asymptote erneut umgeschrieben:$$y(x)=\frac{x^2+x-6}{x^2-6x+9}=\pink1+\frac{x^2+x-6\pink{-(x^2-6x+9)}}{x^2-6x+9}=1+\frac{7x-15}{(x-3)^2}$$

In Teil (c) würde ich nun zum Ableiten die Darstellung aus Teil (b) wählen, denn die \(1\) fällt beim Ableiten ja einfach weg:$$y'(x)=\left(1+\frac{\overbrace{7x-15}^{=u}}{\underbrace{(x-3)^2}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{7}^{=u'}\overbrace{(x-3)^2}^{=v}-\overbrace{(7x-15)}^{=u}\cdot\overbrace{2(x-3)}^{=v'}}{\underbrace{(x-3)^4}_{=v^2}}$$$$\phantom{y'(x)}=\frac{7(x-3)-(14x-30)}{(x-3)^3}=\frac{9-7x}{(x-3)^3}$$

Answer 2

Für die Ableitung besser erstmal den Faktor x-3 herauskürzen:

\( y=\frac{\left(x^{2}-9\right)(x-2)}{\left(x^{2}-6 x+9\right)(x-3)}=\frac{\left(x+3\right)(x-3)(x-2)}{\left(x^{2}-6 x+9\right)(x-3)}=\frac{\left(x+3\right)(x-2)}{x^{2}-6 x+9}=\frac{x^2 +x -6}{x^{2}-6 x+9} \)

Answer 3

Man kann kürzen: (x=3 ist eine hebbare Def-lücke)

x^2-9 = (x+3)(x-3)

x^2-6x+9 = (x-3)^2

f(x) = (x+3)*(x-2)/(x-3)^2 = (x^2+x-6)/(x-3)^2

Quotientenregel:

u = x^2+x-6, u' = 2x+1

v= (x-3)^2, v' =  2(x-3)