Extremstellen bestimmen mehrdimensional

Question

Aufgabe:

f(x,y)= \( \frac{(x+y)^4}{8} \) -xy

\( f(x y)=\frac{(x+y)^{4}}{8}-x y \)

\( f(x)=\frac{(x+y)^{3}}{2}=y \)
\( f(y x)=\frac{(y+x)^{3}}{2}-x \)
\( f(x, y)=\frac{3(x+y)^{2}}{2} \)
\( f(y y)=\frac{3(x+y)^{2}}{2} \quad \) padic \( (l e \)
\( f(x, y)=\frac{3(y+x)}{2}-1 \)
\( f(y, x)=\frac{3(y+x)}{2}-1 \)
\( \frac{(x+y)^{3}}{2} y=0 \)
\( (A+ \)
\( \frac{(x+1)^{3}}{2}-x=0 \)

Problem/Ansatz:

Die partiellen Ableitungen habe ich bestimmt. Jetzt muss ich die Ausdrücke unten gleich null setzen und nach x oder y umstellen. Nehme ich dafür dann die binomische Formel oder wie gehe ich am einfachsten vor?

Comments

Hallo,

zunächst solltest Du mal schauen, wie Ihr partielle Ableitungen notiert. So wie Du es jetzt geschrieben hast, ist es unmöglich.

Jedenfalls kommst Du mit der Lösung es Gleichungssystems für die ersten partiellen Ableitungen weiter, wenn Du eine von der anderen subtrahierst.

Gruß Mathhilf

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So notieren wir das aber

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Da wette ich gegen, wenn ich mir Deine 1. und 6. Zeile anschaue.

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So notieren wir das aber

es wird wohl eher so sein, dass Ihr z.B. für die partielle Ableitung nach \(x\) schreibt$$f_x = \frac12 (x+y)^3 - y$$also ohne Klammer um das \(x\), sondern das \(x\) als Index.

Answer 1

\(\frac{(x+y)^{3}}{2} - y=0 \)  und  \( \frac{(x+y)^{3}}{2}-x=0 \)

==> Gleichungen voneinander subtrahieren

==>   x-y = 0   also     x=y .

Einsetzen

\(\frac{(x+x)^{3}}{2} - x=0 \)

<=> \(\frac{8x^{3}}{2} - x=0 \)

<=>     4x^3 - x = 0

<=> x * ( 4x^2 - 1 ) = 0

<=>  x=0 oder x=1/2  oder x=-1/2

kritische Punkte (0;0)   (0,5;0,5)    (-0,5;-0,5).

Comments

Kannst du mir das voneinander abziehen der Gleichungen bitte nochmal ausführlicher schreiben? Blicke nicht ganz durch :-)

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Sorry habe es jetzt. Aber wie kommst du auf 8x^3?

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x+x=2x.

(x+x)³ ist also (2x)³.

Was kommt denn bei DIR raus, wenn du 2x*2x*2x rechnest?

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Stimmt, vielen Dank für die Antwort.

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Müsst ihr nicht mit der Hesse-Matrix überprüfen, welcher Art
die kritischen Stellen sind ?

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Ja das müssen wir

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Und? Was hast du für H(0,0), H(1/2,1/2) und H(-1/2,-1/2) ?

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Hallo MBstudent,

ich übe gerade mit Desmos und habe Dir die Funktion $$f(x,y)=\frac{(x+y)^4}8-xy$$in Desmos gegossen, bzw. einige Höhenlinien dieser Funktion.

Das hilft IMHO etwas um sich das ganze vorstellen zu können.

https://www.desmos.com/calculator/wapzxb2swi

Der schwarze Graph in Form einer 8 ist das 0-Niveau (\(f(x,\,y)=0\)). Für jede Position \((x,\,y)\) innerhalb der 8 ist \(f(x,\,y)\lt 0\) und für alles außerhalb der schwarzen Grenze gilt \(f(x,\,y) \gt 0\). Die beiden Minima habe ich als Punkte markiert. Der Punkt \((0,0)\) ist ein Sattelpunkt, also kein Extremum.

Diese Info sollte Dir die Hesse-Matrix liefern. Den lilanen Punkt kannst Du mit der Maus verschieden und Dir wird dann der dazu gehörige Wert von \(f(x,y)\) angezeigt.

Gruß Werner

Answer 2

Hallo

direkt sieht man x=y=0 ist eine Lösung,

dann die 2 Gleichungen subtrahiere ergibt x=y

einsetzen ergibt die anderen 2 Lösungen

Gruß lul

Comments

ich habe doch dann aber -x=y stehen, oder nicht?

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sorry hat sich erledigt

Answer 3

Wenn ich das richtig sehe, hattest du bereits

\((x+y)^3=2y\) und \((x+y)^3=2x\), folglich \(x=y\) und damit

\((2x)^3=2x\), somit \(4x^3=x\Rightarrow x_1=0\vee x_2=1/2\vee x_3=-1/2\),

entsprechend \(y_1=0\vee y_2=1/2\vee y_3=-1/2\) ...

Comments

habe ich dann nicht -x=y stehen?

Wie kommst du auf (x+y)^3=2y? :-)

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\(\partial_x f=f_x(x,y)=0\Rightarrow 1/2(x+y)^3-y=0\)