Zeige, dass die Funktionen der Schar ft(x)=-1/6t*x^3+2x^2-6tx die Wendepunkte Wt(4t/-8/3t^2) besitzen und untersuche …

Question

Aufgabe

Zeige, dass die Funktionen der Schar ft(x)=-1/(6t)*x^3+2x^2-6tx die Wendepunkte Wt(4t/-8/3t^2) besitzen und untersuche für welches t die Wendetangente des Graphen von ft parallel zur Geraden y= 2x+1 liegt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das berechnen soll. Ich denke mal das ich die zweite Ableitung bilden muss und dann null setzen muss, um die Wendepunkte rauszubekommen.

Answer 1

Ich denke mal das ich die zweite Ableitung bilden muss und dann null setzen muss, um die Wendepunkte rauszubekommen.

Ja, das musst du tun.

Answer 2

Aloha :)

Für die Schar$$f_t(x)=-\frac{1}{6t}x^3+2x^2-6tx\quad;\quad t\ne0$$bestimmen wir die Ableitungen:$$f'_t(x)=-\frac{1}{2t}x^2+4x-6t$$$$f''_t(x)=-\frac1tx+4$$$$f'''_t(x)=-\frac1t$$Kandidaten für Wendepunkte finden wir dort, wo die zweite Ableitung verschwindet:$$0\stackrel!=f''_t(x)=-\frac1tx+4\implies \frac1tx=4\implies x=4t$$Da die dritte Ableitung für alle \(x\) ungleich Null ist, insbesondere also auch für unseren Wendepunkt-Kandidaten, liegt bei \(x=4t\) tatsächlich eine Wendepunkt vor:$$W(4t\,|\,f_t(4t))=W\left(4t\,\bigg|\,-\frac{8t^2}{3}\right)$$

Im nächsten Schritt sollen wir diejenigen \(t\) finden, für die die Wendetangente parallel zur Geraden \(y=2x+1\) verläuft. Diese Gerade hat die Steigung \(2\). Wir suchen also alle \(t\), für die die erste Ableitung \(f'_t(x)\) an der Stelle des Wendepunktes \((x=4t)\) gleich \(2\) wird:$$2\stackrel!=f'_t(4t)=-\frac{1}{2t}(4t)^2+4\cdot4t-6t=-8t+16t-6t=2t\quad\implies\quad t=1$$Für \(t=1\) verläuft also die Wendetangente parallel zur Geradey \(y=2x+1\).