Zeigen Sie, dass die Folge konvergent ist und berechnen Sie den Grenzwert.

Question

Einen schönen Nachmittag, ich kenne mich bei folgenden Beispiel nicht aus:

Zeigen Sie, dass die durch

$$ a_{1}=\sqrt{2} \text{, }a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}} $$

für alle n ∈ ℕ definierte Folge konvergent ist und berechnen Sie den Grenzwert.

Grenzwert geht ja irgendwie über den Limes wahrscheinlich oder, aber wie zeig ich das hier überhaupt? Wie verwende ich a1 am besten. Wann ist eine Folge überhaupt konvergent? Danke für eure Hilfe!

Comments

Die gleiche Frage gab es schon mal hier: https://www.mathelounge.de/465214/konvergenz-rekursiv-definierter-folge-zeigen-warum-1an.

Answer 1

Wenn die Folge konvergiert mit \(a=\lim a_n\), dann gilt

\(a=\lim a_n = \lim a_{n+1}=\sqrt{2 + \lim a_n}=\sqrt{2+a}\), also

nach Quadrieren \(0=a^2-a-2=(a-2)(a+1)\).

Da alle Folgenwerte positiv sind, muss \(a=2\) sein.

Es ist \(a_1\leq 2\) und wenn \(a_n\leq 2\) ist, dann gilt

\(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\leq \sqrt{2+2}=2\), d.h.

die Folge ist durch \(2\) nach oben beschränkt.

Ferner gilt: \(a_1\leq a_2\) und man hat

\(a_n\leq a_{n+1}\Rightarrow 2+a_n\leq 2+a_{n+1}\Rightarrow \sqrt{2+a_n}\leq \sqrt{2+a_{n+1}}\),

also \(a_{n+1}\leq a_{n+2}\). Damit ist die Folge monoton wachsend,

also konvergent mit Limes 2.

Answer 2

Für den Grenzwert ist an = an+1

a = √(2 + a) --> a = 2

Zeige jetzt vielleicht das die Folge streng monoton steigend ist.

Comments

Also lim an+1 oder?`

Zur Monotonie, beweisen mit der ersten Ableitung größer null oder grafisch, was ist besser?

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was für den Grenzwert gilt habe ich schon vorgemacht.

Monotonie: Zeige das gilt

an+1 ≥ an
√(2 + an) ≥ an

Das solltest du hinbekommen oder?

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Macht man das nicht mit ableiten?

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Du hast eine Folge und keinen Funktionsterm. Du könntest natürlich auch erstmal probieren die Folge in einen Expliziten Funktionsterm zu wandeln. Aber da das nicht die Aufgabe war hätte ich das auch nicht gemacht.

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Ok dann mach ich das sowie du oben geschrieben hast

Answer 3

Aloha :)

Wir betrachten die rekursiv definierte Folge:$$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\quad;\quad a_1=\sqrt2$$

Beschränktheit

Wir zeigen zuerst, dass \(a_n\ge\sqrt2\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt. Mit \(a_1=\sqrt2\) ist der Induktionsanfang bereits gemacht. Der Induktionsschritt lautet dann:$$a_n\ge\sqrt2\implies a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}>\sqrt{2+0}=\sqrt2$$Daher ist die Folge durch \(\sqrt2\) nach unten beschränkt.

Wir zeigen nun, dass \(a_n<2\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt. Für \(a_1=\sqrt2<2\) ist das als Induktionsanfang klar. Im Induktionsschritt schließen wir:$$a_n<2\implies 2+a_n<4\implies\sqrt{2+a_n}<\sqrt4\implies a_{n+1}<2$$Die Folge ist also druch beschränkt:\(\quad\sqrt2\le a_n<2\).

Monotonie

Wir bestimmen die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder:$$a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n=\frac{(\sqrt{2+a_n}-a_n)(\sqrt{2+a_n}+a_n)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{(2+a_n)-a_n^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}$$Wegen \(a_n\ge\sqrt2\) ist Nenner \(\ge\sqrt2\) stets positiv. Für den Zähler gilt:$$\sqrt2\le a_n<2\implies \sqrt2-\frac12\le a_n-\frac12<\frac32\implies 0< a_n-\frac12<\frac32\implies$$$$\left(a_n-\frac12\right)^2<\frac94\implies a_n^2-a_n+\frac14<\frac94\implies a_n^2-a_n<2\implies(2+a_n)-a_n^2>0$$Sowohl Zähler als auch Nenner sind positiv, daher ist \(a_{n+1}-a_n>0\) bzw. \(a_{n+1}>a_n\) für alle \(n\in\mathbb N\). Das heißt, die Folge wächst streng monoton.

Konvergenz

Da jede beschränkte und monotone Folge konvergiert, trifft dies nach dem bisher Gezeigten auf unsere rekursiv definierte Folge zu. Zur Bestimmung des Grenzwertes können wir daher die Grenzwertsätze anwenden:$$\left.a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\quad\right|\text{Grenzwert bilden}$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{2+a_n}=\sqrt{2+\lim\limits_{n\to\infty} a_n}\quad\right|\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a=\lim\limits_{n\to\infty} a_n$$$$\left.a=\sqrt{2+a}\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\left.a^2=2+a\quad\right|-a+\frac14$$$$\left.a^2-a+\frac14=\frac94\quad\right|\text{2-te binomische Formel links}$$$$\left.\left(a-\frac12\right)^2=\frac94\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.a-\frac12=\pm\frac32\quad\right|+\frac12$$$$a=\frac12\pm\frac32$$Wegen der Beschränktheit von \((a_n)\) ist die positive Lösung \(a=2\) der Grenzwert.