Konvergenz/Divergenz - uneigentliches Integrals

Question

Aufgabe: Auf Divergenz bzw Konvergenz untersuchen mittels einem Vergleichskriterium

Problem/Ansatz:

Hallo, bin wieder back, hab versucht, dass Integral mittels einer Divergenten Abschätzung zu lösen, aber nachdem ich mir die Funktion plotten hab lassen bin ich mir nicht so sicher ob das stimmen kann. Wäre für Ideen und Lösungsansätze dankbar. Hab es schon probiert mit Aufteilung des Integrals.

LG

Answer 1

Aloha :)

Für alle \(x\in[-1;1]\) gilt:$$\arcsin(x)\ge-\frac\pi2\implies 2^{\arcsin(x)}\ge2^{-\frac\pi2}=\frac{1}{2^{\frac\pi2}}>\frac{1}{2^2}=\frac14$$Für \(0\le a\le1\) können wir daher das folgende Integral abschätzen:$$\int\limits_{-a}^a\frac{2^{\arcsin(x)}}{1-x}dx>\int\limits_{-a}^a\frac{1/4}{1-x}\,dx=-\frac14\left[\ln|1-x|\right]_{-a}^a=-\frac14\ln\left|\frac{1-a}{1+a}\right|$$Im Grenzübergang \(a\to1\) finden wir das gesuchte Integral:$$\int\limits_{-1}^1\frac{2^{\arcsin(x)}}{1-x}\,dx>\lim\limits_{a\to1}\left(-\frac14\ln\left|\frac{1-a}{1+a}\right|\right)=\lim\limits_{a\to1}\left(\frac14\ln\left|\frac{1+a}{1-a}\right|\right)\to\infty$$