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Aufgabe: Auf Divergenz bzw Konvergenz untersuchen mittels einem Vergleichskriterium

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Problem/Ansatz:

Hallo, bin wieder back, hab versucht, dass Integral mittels einer Divergenten Abschätzung zu lösen, aber nachdem ich mir die Funktion plotten hab lassen bin ich mir nicht so sicher ob das stimmen kann. Wäre für Ideen und Lösungsansätze dankbar. Hab es schon probiert mit Aufteilung des Integrals.

LG

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Aloha :)

Für alle x[1;1]x\in[-1;1] gilt:arcsin(x)π2    2arcsin(x)2π2=12π2>122=14\arcsin(x)\ge-\frac\pi2\implies 2^{\arcsin(x)}\ge2^{-\frac\pi2}=\frac{1}{2^{\frac\pi2}}>\frac{1}{2^2}=\frac14Für 0a10\le a\le1 können wir daher das folgende Integral abschätzen:aa2arcsin(x)1xdx>aa1/41xdx=14[ln1x]aa=14ln1a1+a\int\limits_{-a}^a\frac{2^{\arcsin(x)}}{1-x}dx>\int\limits_{-a}^a\frac{1/4}{1-x}\,dx=-\frac14\left[\ln|1-x|\right]_{-a}^a=-\frac14\ln\left|\frac{1-a}{1+a}\right|Im Grenzübergang a1a\to1 finden wir das gesuchte Integral:112arcsin(x)1xdx>lima1(14ln1a1+a)=lima1(14ln1+a1a)\int\limits_{-1}^1\frac{2^{\arcsin(x)}}{1-x}\,dx>\lim\limits_{a\to1}\left(-\frac14\ln\left|\frac{1-a}{1+a}\right|\right)=\lim\limits_{a\to1}\left(\frac14\ln\left|\frac{1+a}{1-a}\right|\right)\to\infty

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