Folgen und Folgenglieder bestimmen

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Folge (fn)n∈N mit f1:=3, fn+1:=fn÷2 + 3÷2⋅fn .

- Bestimmen Sie die ersten 5 Folgenglieder als rationale Zahl, d.h. als Bruch.

- Zeigen Sie, dass die Folge streng monoton fallend ist.

- Zeigen Sie, dass die Folge beschränkt ist.

Problem/Ansatz:

Hi, kann mir jemand vlt mit dieser Aufgabe helfen?

Für mich sind Folgen noch sehr neu und ich weiß nicht ganz, wie man das macht.

Danke schonmal :)

Comments

fn+1:=fn÷2 + 3÷2⋅fn

ist zusammen gefasst $$f_{n+1} =\frac{f_n}2 + \frac32f_n= 2f_n$$Du hast da irgendwo eine Klammer vergessen - oder?

Answer 1

Die Folge lautet wohl \(f_1=3\) und \(f_{n+1}=\dfrac{f_n}2+\dfrac3{2f_n}\).

(1)  Das zweite Folgeglied lautet demnach \(f_2=\dfrac{f_1}2+\dfrac3{2f_1}=\dfrac32+\dfrac3{2\cdot3}=2\), etc.

(2)  Stelle fest, dass alle Folgeglieder positiv sind.

(3)  Zeige, dass die Folge nach unten durch \(\sqrt3\) beschränkt ist: Offenbar gilt \(f_1>\sqrt3\) und$$f_{n+1}^2-3=\left(\frac{f_n}2+\frac3{2f_n}\right)^2-3=\left(\frac{f_n}2-\frac3{2f_n}\right)^2\ge0\text{ für alle }n\ge1.$$(4)  Zeige, dass die Folge monoton fallen ist: Offenbar gilt \(f_2<f_1\) und$$f_{n+1}-f_n=\frac{f_n}2+\frac3{2f_n}-f_n=\frac{3-f_n^2}{2f_n}\le0\text{ für alle } n>1.$$

Comments

Hi erstmal vielen Dank :)

Zudem Teil, wo man zeigen muss, dass die Folge streng monoton fallend ist habe ich noch eine Frage: Ich habe mir da die Formel fn - fn + 1 aufgeschrieben ich glaube du hattest was andersrum und wie kommst du da auf den letzten Teil der Rechnung also ich kann die Gleichung irgendwie nicht auflösen.

Und beim dritten Teil wie kommt man auf die Wurzel 3 und auch auf die Rechnung und inwiefern beweist sie das?

Sorry für die ganzen Fragen, ich würde das Thema nur gerne verstehen.

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Zur Monotonie: Es ist unerheblich, ob du am Ende der Rechnung \(f_n-f_{n+1}\ge0\) oder \(f_{n+1}-f_n\le0\) erhältst. Beides heißt, dass die Folge monoton fällt.
Dann habe ich \(\dfrac{f_n}2+\dfrac3{2f_n}-f_n\) mittels Hauptnennerbildung addiert.
Der Zähler \(3-f_n^2\) ist nach (3) nichtpositiv und der Nenner \(2f_n\) nach (2) positiv. Damit ist der Bruch nichtpositiv.

Zur Beschränktheit: Wenn die Folge konvergent ist, dann muss \(\sqrt3\) der Grenzwert sein. Sollte die Folge zudem monoton fallend sein, ist der Grenzwert auch eine untere Schranke.
Bei der Rechnung kam zunächst die erste binomische Formel zur Anwendung und anschließend die zweite rückwärts. Das Ergebis zeigt, dass \(f_{n+1}^2-3\) das Quadrat einer reellen Zahl und damit niemals negativ ist. Mit (2) folgt \(f_{n+1}\ge\sqrt3\).

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Jetzt habe ich es glaube ich endlich verstanden, vielen Dank :)