5 Folgenglieder als Bruch angeben

Question

Ich habe eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} \) und sie ist gegeben durch:

\( a_{n}=\frac{n-2}{1+2 n} \)

1.) Wie heißen die 5 Folgenglieder als Bruch

2.) und wie kann man die Monotonie untersuchen

Und meine 3.Frage: Existiert eine untere Schranke oder  eine obere Schranke der Folge\( \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} \) und wenn ja wie bestimmt man sie?

Ich bedanke mich für eine baldige Antwort.

Answer 1

1.) Wie heißen die 5 Folgenglieder als Bruch

a1 = - 1/3
a2 = 0
a3 = 1/7
a4 = 2/9
a5 = 3/11

2.) und wie kann man die Monotonie untersuchen

Verdacht streng monoton steigend

an+1 > an
((n + 1) - 2)/(1 + 2·(n + 1)) > (n - 2)/(1 + 2·n)
(n - 1)/(2·n + 3) > (n - 2)/(1 + 2·n)
(n - 1)(1 + 2·n) > (n - 2)(2·n + 3)
2·n^2 - n - 1 > 2·n^2 - n - 6
- 1 > - 6
wahr

3.Frage: Existiert eine untere Schranke oder  eine obere Schranke

Die Frage nach der unteren Schranke kannst du schon beantworten.

lim (n --> ∞) (n - 2) / (1 + 2·n)
lim (n → ∞) (1 - 2/n) / (1/n + 2) = (1 - 0) / (0 + 2) = 1/2

an (1 - 2/n) / (1/n + 2) kannst du auch noch begründen das der Bruch immer kleiner als 1/2 ist.