det (A) * det (D) = det (A,B,0,D)?

Question

Aufgabe:

Seien A und D zwei quadratische Matrizen, sagen wir A ∈ MatK (n × n) und D ∈ MatK (m × m),
und sei B ∈ MatK (n × m). Zeigen Sie, dass gilt:

\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array}\right)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(D) \)
Zeigen Sie andererseits, dass
\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(D)-\operatorname{det}(B) \cdot \operatorname{det}(C) \)
selbst für quadratische Matrizen \( A, B, C, D \in \operatorname{Mat}_{K}(n \times n) \) im Allgemeinen nicht gilt.

Answer 1

Zum 1. Teil:

Seien \(E_n,\; E_m\) die \(n\times n\)- bzw. \(m\times m\)-Einheitsmatrizen.

Dann gilt$$\left(\begin{array}{cc}A&B\\0&D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}E_n&B\\0&D\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}A&0\\0&E_m\end{array}\right)$$
Wir betrachten$$\det(\left(\begin{array}{cc}E_n&B\\0&D\end{array}\right)),\; B=(b_{ij})$$
Diese Determinante ändert sich nicht, wenn man ein Vielfaches einer Spalte
zu einer anderen Spalte addiert. Subtrahiert man das \(b_{i,j}\)-fache der \(j\)-
ten Spalte \(e_j\) von der \((n+j)\)-ten Spalte der Matrix, entsteht an der Stelle
\((i, n+j)\) eine 0. Auf diese Weise kann man sämtliche Elemente des \(B\)-
Blockes durch "Scherungsoperationen" zu 0 machen.$$\det(\left(\begin{array}{cc}E_n&B\\0&D\end{array}\right))=\det(\left(\begin{array}{cc}E_n&0\\0&D\end{array}\right))=\det(D)$$...

Answer 2

zum 2. Teil z.B. die Matrix

\( \begin{pmatrix} 1&0&1&0 \\ 0&1&0&-1\\1&0&1&0 \\ 0&1&0&1 \end{pmatrix} \)

hat det 0, da zwei gleiche Zeilen.

Aber


\( det(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) \cdot det(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) - det(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}) \cdot det(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) \)

= 1*1 - (-1)*1 = 2

Comments

Bei der Determinante nach dem "-"-Zeichen hast du einen
Schreibfehler !

Und du hast wohl \dot statt \cdot gelatext ;-)

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Danke, habe es korrigiert.

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Vielen Dank für deine hilfreiche und ausführliche Antwort! Eine kleine Frage noch: wie kommst du auf das -1 in der Matrix B?

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B ist die obere rechte 2x2 Teilmatrix von der großen.

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Ja, dass sehe ich und habe das auch so verstanden - aber ist die obere Matrix einfach eine von dir zufällig ausgewählte Matrix?

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zufällig nicht, sondern so ausgewählt, dass die

zu widerlegende Gleichung auch wirklich nicht gilt.

Und die Idee war mit Einheitsmatrizen bzw. leicht modifizierten

auf 1*1 - (-1)*1 zu kommen.

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Okay, vielen dank!