Question

(i) Für welche Paare von Zahlen 0 ≤ r, d ≤ 3 gibt es eine Matrix A ∈ R^3×3 mit rk(A) = r und det(A) = d?

(ii) Für welche Elemente x ∈ F₁₁ ist die Matrix
A_x =  1  3  x
       x 4 −2
     −3−1  1     ∈  F^3×3₁₁
invertierbar?
(iii) Sei K ein Körper und seien A, B ∈ K^n×n. Kann man die Determinante det(A + B) der
Summe aus den einzelnen Determinanten det(A) und det(B) und der Zahl n bestimmen?
Formaler ansgedrückt: Existiert eine Abbildung f : K ×K ×N → K, sodass die Gleichung
det(A + B) = f(det(A), det(B), n) für alle Matrizen A, B ∈ K^n×n gilt?
Hinweis für Teil (ii): Bestimmen Sie det(A_x).