Zusammenhang von Sinus, Kosinus und Tangens?

Question

Aufgabe:

Übungen zu grundlegenden goniometrischen Beziehungen

Bei den folgenden Aufgaben sind jeweils die zwei anderen trigonometrischen Funktionswerte desselben Winkels - ohne Verwendung eines Taschenrechners - zu berechnen!

276. a) \( \sin \alpha=\frac{4}{5} \quad\left(0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\right) \)
277. a) \( \cos \alpha=-0,4 \quad\left(180^{\circ}<\alpha<270^{\circ}\right) \)
278. a) \( \tan \alpha=\frac{3}{4} \quad\left(0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\right) \)
279. a) \( \sin \alpha=-\frac{40}{41} \quad\left(270^{\circ}<\alpha<360^{\circ}\right) \)

Problem/Ansatz:

Hey Leute, könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen? Ich muss Sin, Cos, Tan bestimmen, also dort wo diejenige fällt.

Answer 1

Soll das so gemacht werden.

a)

SIN(α) = G/H = 4/5 → Wir können hier also ein Beispieldreieck nehmen, mit der Gegenkathete von 4 und der Hypotenuse von 5.

A = √(H^2 - G^2) = 3

COS(α) = A/H = 3/5

TAN(α) = G/A = 4/3

Answer 2

Aloha :)

Verwende hier den "trigonometrischen Pythagoras" in seinen verschiedenen Formen:$$\sin^2x+\cos^2x=1\quad;\quad\sin x=\pm\sqrt{1-\cos^2x}\quad;\quad\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}$$Die Vorzeichen richten sich nach dem Wertebereich aus dem der Winkel bestimmt werden soll. Weiter brauchst du noch die Definition der Tangens-Funktion:$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

So informiert gehen wir in die Aufgaben rein:

zu 276) \(\quad 0^\circ<\alpha<90^\circ\implies\sin\alpha>0\;\land\;\cos\alpha>0\)$$\sin\alpha=\frac45$$$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac35$$$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac45}{\frac35}=\frac45\cdot\frac53=\frac43$$

zu 277) \(\quad 180^\circ<\alpha<270^\circ\implies\sin\alpha<0\;\land\;\cos\alpha<0\)$$\cos\alpha=-0,4=-\frac25$$$$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(-\frac25\right)^2}=-\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{4}{25}}=-\sqrt{\frac{21}{25}}=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-\frac25}{-\frac{\sqrt21}{5}}=\frac25\cdot\frac{5}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}$$

zu 278) \(\quad 0^\circ<\alpha<90^\circ\implies\sin\alpha>0\;\land\;\cos\alpha>0\)$$\tan\alpha=\frac34$$$$\cos\alpha=\sqrt{\cos^2\alpha}=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}}=\sqrt{\frac{1}{1+\tan^2\alpha}}$$$$\phantom{\cos\alpha}=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac34\right)^2}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16}+\frac{9}{16}}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{16}}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac45$$$$\sin\alpha=\tan\alpha\cdot\cos\alpha=\frac34\cdot\frac45=\frac35$$

zu 279) \(\quad 270^\circ<\alpha<360^\circ\implies\sin\alpha<0\;\land\;\cos\alpha>0\)$$\sin\alpha=-\frac{40}{41}$$$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(-\frac{40}{41}\right)^2}=\sqrt{\frac{1681}{1681}-\frac{1600}{1681}}=\sqrt{\frac{81}{1681}}=\frac{9}{41}$$$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-\frac{40}{41}}{\frac{9}{41}}=-\frac{40}{41}\cdot\frac{41}{9}=-\frac{40}{9}$$