Beziehungen zwischen Sinus,Kosinus,Tangens

Question

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Fig. 1
4 Begründe anhand von Fig. 1: \( \sin (\alpha)=\cos \left(90^{\circ}-\alpha\right) \) und \( \cos (\alpha)=\sin \left(90^{\circ}-\alpha\right) \).

Answer 1

Aloha :)

Wenn wir den Winkel bei Punkt \(B\) als \(\beta\) bezeichnen, gilt:

$$\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{\overline{AB}}{1}\quad;\quad\cos\beta=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{\overline{AB}}{1}$$Also ist \(\sin\alpha=\cos\beta\). Allerdings ist die Summe beider Winkel \(\alpha+\beta=90^\circ\), also gilt:$$\sin\alpha=\cos\beta=\cos(90^\circ-\alpha)$$

Für den Cosinus können wir genauso argumentieren:

$$\cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{\overline{OA}}{1}\quad;\quad\sin\beta=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{\overline{OA}}{1}$$Also ist \(\cos\alpha=\sin\beta\). Allerdings ist die Summe beider Winkel \(\alpha+\beta=90^\circ\), also gilt:$$\cos\alpha=\sin\beta=\sin(90^\circ-\alpha)$$

Hieran sieht mat übrigens sehr schön, wo die "Co"-Funktionen ihren Namen her haben. Sie heißen so, weil man im rechtwinkligen Dreieck zum complementären Winkel übergeht (also dem anderen Nicht-90-Grad-Winkel):

$$\sin\alpha=\cos(90^\circ -\alpha)$$$$\cos\alpha=\sin(90^\circ -\alpha)$$$$\tan\alpha=\cot(90^\circ -\alpha)$$$$\cot\alpha=\tan(90^\circ -\alpha)$$

Answer 2

Da die Länge der Hypotenuse OB gleich 1 ist, ist |AB|=sin(α). sin(α) ist also die Ankathete von 90°-α. Der Kosinus ist hier \( \frac{Ankathete }{1} \).