Sinus+Kosinus+Tangens Beweisen

Question

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21 Beweise die Formeln.
a) \( \frac{1}{\cos ^{2}(\alpha)}=1+\tan ^{2}(\alpha) \)
b) \( \frac{1}{\sin ^{2}(\alpha)}=1+\tan ^{2}\left(90^{\circ}-\alpha\right) \)

Answer 1

Bedenke sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 und Def. von tan.

Und gehe von rechts nach links vor:

$$1+\frac{1}{tan(α)^2}= {1+\frac{sin(α)^2}{cos(α)^2}}=\frac{cos(α)^2}{cos(α)^2}+\frac{sin(α)^2}{cos(α)^2}$$

$$ =\frac{cos(α)^2+sin(α)^2}{cos(α)^2}=\frac{1}{cos(α)^2}$$

Beim zweiten verwende die Formeln für cos und sin von 90°-x.

Answer 2

1+tan²(α)=1+\( \frac{sin^2(α)}{cos^2(α)} \)=\( \frac{sin^2(α)+cos^2(α)}{cos^2(α)} \)= \( \frac{1}{cod^2(α)} \) .