Berechnen Sie die Länge der anderen parallelen Seite für den Fall, daß der Flächeninhalt

Question

Die Aufgabe:

Einem Halbkreis mit dem Radius r soll ein gleichschenkliges Trapez so einbeschrieben
werden, daß eine parallele Seite der Durchmesser des Halbkreises ist.
Berechnen Sie die Länge der anderen parallelen Seite für den Fall, daß der Flächeninhalt
des Trapezes am größten ist!

Problem/Ansatz:

hat jemand eine Lösung mit Lösungsweg für mich? Vielen Dank im Voraus. Ich habe nämlich keine Ahnung wie ich das lösen soll.

Answer 1

Hallo,

hier habe ich die Aufgabe in desmos gegossen:

Du kannst den Punkt auf dem Kreis mit der Maus bewegen. Im Trapez wird Dir die Fläche des Trapez angezeigt. Die rote Kurve ist der Graph aller Trapezecken (rechts oben), deren Trapeze einen Flächeninhalt von \(1,3r^2\) haben. Liegt die Ecke dadrüber ist das Trapez größer. Liegt die Ecke dadrunter ist dieFläche kleiner.

Es ist offensichtlich, dass die Fläche dort maximal wird, wo der blaue Kreis den roten Graph berührt.

Der Ursprung des Koordinatensystems sei der Mittelpunkt des gegebenen Kreises mit Radius \(r\). Die obere rechte Ecke des Trapez hat die Koordinate \((x,h)\). Die Höhe des Trapez sei \(h\); dann ist die Fläche \(F_t\) des Trapez$$F_t = \frac12 h (2x+2r) = h(x+r)$$Da die obere rechte Ecke auf dem Kreis liegt, ist die Nebenbedingung$$x^2+h^2 = r^2 \implies h = \sqrt{r^2-x^2}$$einsetzen in die Zielfunktion und Ableiten gibt$$F_t= \sqrt{r^2-x^2}\cdot(x+r) \\ F_t' = \frac{-x(x+r)}{\sqrt{r^2-x^2}} + \sqrt{r^2-x^2} \to 0 $$Setzt man die Ableitung zu 0, gibt das$$r^2-x^2 = x^2 + xr\\x^2 + \frac12 rx - \frac12r^2 =0 \\ x_{1,2} =-\frac14r \pm \sqrt{\frac1{16}r^2 + \frac{8}{16}r^2} \\ \phantom{x_{1,2}}=-\frac14r \pm \frac34 r $$da \(x\gt0\) sein muss, bleibt als einzige Lösung \(x=\frac12\). Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Alternative Lösung:

Man kann sich die Ableitung der Wurzel sparen, wenn man das Verfahren nach Lagrange anwendet. Dazu stellt man aus Zielfunktion und Nebenbedingung die Lagrange-Funktion auf und leitet nach \(x\) und \(h\) ab:$$L(x,h,\lambda) = h(x+r) + \lambda(x^2+h^2 - r^2) \\L_x= h + 2\lambda x \to 0\\ L_h = x+r + 2\lambda h \to 0\\ \implies h^2 = x^2 + rx$$Einsetzen von \(h^2\) in die Nebenbedingung gibt dann die gleiche quadratische Gleichung wie oben$$x^2+rx+x^2-r^2=0 \\ x^2 + \frac12 rx - \frac12r^2 =0 \implies x_{\operatorname{opt}}=\frac12r$$Gruß Werner

Answer 2

>daß eine parallele Seite der Durchmesser des Halbkreises ist<

meint eine parallele Seite auf dem Durchmesser des Halbkreises liegt?

 

Comments

Hallo Wächter,

es ging um "Trapez", nicht um Parallelogramm.

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Yep, Danke, ändere gleich

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Ich sehe es so:

Answer 3

Wenn du die Höhe variierst, beeinflusst du damit die Länge der oberen Parallele.

Verwende also die Flächenformel für das Trapez, um bei fest vorgegeben r die Fläche unter Verwendung der Variablen h auszudrücken.

Alternative:

Maximiere

0,5r² sin α+ 0,5r² sin (180°-2α)+ 0,5r² sin α.

Comments

Da die Länge 2x der doppelten roten Strecke gesucht ist, sollte man besser gleich h=√(r^2-x^2) in der Trapezformel ersetzen, um sich später Arbeit zu ersparen.

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Da Werner inzwischen eine Fertiglösung abgeliefert hat und der Fragesteller nicht mehr nachdenken muss, folgt hier die Alternativlösung.

0,5r² sin α+ 0,5r² sin (180°-2α)+ 0,5r² sin α.lässt sich kürzer als

0,5r² (2sin α+ sin (180°-2α)) schreiben.

Unter Anwendung der bekannten Quadrantenbeziehungen vereinfacht sich das zu

0,5r² (2sin α+ sin 2α) bzw. mit Doppelwinkelformel zu

0,5r² (2sin α·(1+cos α))

Das wird maximal, wenn 2sin α ·(1+cos α) maximal wird.

Die Ableitung davon ist

2 cos α ·(1+cos α) -2 sin² α

= 2(cos α +cos² α-(1-cos² α))

=2(2cos² α +cos α-1)

=4(cos² α +0,5cos α-0,5) und wird 0, wenn

cos α=-0,25\(\pm\) 0,75 ist.

Da im Sachzusammenhang α<90° gelten muss entfällt die negative Kosinuslösung, und es gilt α=60° (mit allen Konsequenzen für die sich daraus ergebenden Maße).