Volumen des Körpers zwischen (x,y) - Ebene und dem Rotationsparaboloiden

Question

Gesucht ist das Volumen eines Körpers zwischen der (x,y) - Ebene und dem Rotationsparaboloiden. Die Integralgrenzen sind aus der Aufgabenstellung zu ermitteln. Die Funktion lautet:

$z = 9 c m - \frac { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } { c m }$

Ansatz:

x-Achse: y, z = 0 → x = 3 cm

y-Achse: x, z = 0 → y = 3 cm

z-Achse: x, y = 0 → z = 9 cm

Habe es mit dem Polarkoordiatensystem versucht zu lösen, bei den Grenzen bin ich mir nicht sicher.

Also R = 3cm,  Z = 3 cm, H = 9 cm

$$\int _ { 0 } ^ { R \sqrt { \frac { z } { H } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 9 c m - \frac { r ^ { 2 } } { c m } r \; d \phi \; dr$$

 

Komme nicht aus das richtige Ergebnis. Das Ergebnis muss lauten: V = 40, 5 * PI * cm³ = 127,2 cm³

Answer 1

Wenn ich die Gleichung mal wie folgt schreibe

x² + y² = 9 - z = √(9 - z)²

dann kann man sehen das die linke Seite positiv sein muss. Demzufolge muss auch die rechte Seite positiv sein. Daher kann z max. 9 sein. ins negative wäre z nicht beschränkt, allerdings wäre auf der Seite der x-y-Ebene der Rotationsparaboloid nicht endlich. Also muss z im Bereich von 0 bis 9 sein. Nun ist 

x² + y² = r²

eine Kreisgleichung mit dem Radius r. D.h. wir haben hier Kreise mit dem Radius r = √(9 - z). Jetzt kann ich eigentlich schon Integrieren

∫ von 0 bis 9 (√(9 - z)² * pi) dz 
= ∫ von 0 bis 9 ((9 - z) * pi) dz 
= ∫ von 0 bis 9 (9*pi - pi*z) dz 
= [9*pi*z - 1/2*pi*z²] von 0 bis 9
= (81/2*pi) - (0)
= 81/2*pi

Hier habe ich noch eine Skizze für dich. Ich denke man kann den Körper dort sehr gut erkennen.

^{Bild gezeichnet mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+9+-+z}

Leider weiß ich nicht genau wie man Wolfram-Alpha dazu bewegt, den kompletten Körper für z = 0 bis 9 zu plotten :( Daher hier nur von 5 bis 9. wer etwas weiß, bitte Bescheid geben.

Hardcore Mathematiker dürfen natürlich in meinem Integral die Kreisformel r² * pi auch noch durch ein inneres Integral ersetzten. Ich würde das nur machen, wenn ich nicht wüsste wie man ein Kreis berechnet.